Matemáticas y algo más.

jueves, 22 de abril de 2010

Los relojes: pueden causar adicción

Pues sí , después de la última entrada que comenzó como un juego más al que Lewis Carroll pretendía someternos:

...Supongamos que tengo dos relojes: uno no funciona en lo absoluto, y el otro se retrasa un minuto al día: ¿cuál preferirías? "El que se retrasa", replicarías sin ninguna duda. Ahora observa: el que se retrasa un minuto al día tiene que emplear doce horas, o setecientos veinte minutos, hasta que de nuevo señale la hora correcta; por consiguiente, es puntual una vez cada dos años, mientras que el otro es puntual evidentemente siempre que sea la hora por él indicada, lo que ocurre dos veces por día.

De manera que ya te has contradicho una vez.


"Ah, pero", dirás, "¿de qué me sirve que sea puntual dos veces al día, si no puedo saber cuándo lo es?".

Bueno, supongamos que el reloj marca las ocho en punto, ¿no comprendes que el reloj será puntual a las ocho en punto? Tu reloj señalará la hora exacta cuando sean las ocho en punto.

"Sí, ya veo", me contestarás.

Muy bien, por lo tanto, te has contradicho ya dos veces; ahora sal del apuro lo mejor que puedas y procura no contradecirte una vez más.


Podrías seguir diciendo: "¿Cómo habría de saber cuándo son las ocho en punto? Mi reloj no me lo dirá". Ten paciencia: sabes que, cuando sean las ocho, tu reloj irá bien, perfecto; por lo tanto, esto es lo que tienes que hacer: mantén la vista fija en el reloj, y en el momento exacto en que dé puntualmente la hora, serán las ocho. "Pero...", será tu balbuceo. Pero --ya es bastante-- vale más que desistas en tu vana demanda de algo conforme a los usos de tu sentido común. Te alejarás más y más, a medida que preguntes, del punto en que se sustentaba tu necio equilibrio, de modo que lo mejor será que te calles.


Traducido por Leopoldo Mª Panero.

(Lewis Carroll escribió este problema en El paraguas de la rectoría. ( 1849).  (Ediciones El Cotal. Barcelona, 1979), en él   recoge las revistillas del mismo nombre que Carroll, siendo aún casi un niño, dibujaba, escribía y editaba a mano, y luego colocaba en la rectoría para que los feligreses de su padre pudiesen leerlas.)

 Me reafirmo en la arbitrariedad de medir el tiempo,  en este enlace descubro relojes de todo tipo, hasta 23 modelos:

http://proinf.net/permalink/relojes_y_mas_relojes

y puestos a resolver problemas de relojes aquí va una buena colección:

http://platea.pntic.mec.es/~jescuder/relojes.htm


Pero el problema elegido ( propuesto en la preparación de las Olimpias matemáticas) y que he encontrado  resuelto impecablemente por Francisco Javier García Capitán- como es habitual en él- es el siguiente:


Hallar las posiciones de las manecillas de un reloj susceptibles
de estar en posición inversa. Es decir la aguja horaria en la posición
del minutero y viceversa.
A primera vista, parece que cualquier posicióon de las agujas puede invertirse,pero esto no es así, pues la posición de una aguja obliga en cierta medida a la otra.

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sábado, 17 de abril de 2010

El reloj de Lewis Carroll.

No tengo reloj, no me gusta saber la hora qué es; prefiero guiarme de mi reloj biológico, y ... bueno, no me va nada mal, en definitiva, ningún reloj con el que me cruzo marca la misma hora, el que está adelantado para  así no llegar tarde, el que se quedo con la hora antes del cambio horario esperando un nuevo cambio, el que agotó  la pila olvidado en una pared o en un cajón...

  Una vez más acudo a Lewis Carroll para plantear un problema:

¿Qué es mejor, un reloj que da la hora exacta una vez por año, o un reloj que es puntual dos veces al día?.


http://farm3.static.flickr.com/2407/2269429496_610d518288.jpg

... " El primero en romper el silencio fue el Sombrerero.


-¿A cómo estamos hoy? -dijo, volviéndose a Alicia: se había sacado el reloj del bolsillo, y lo consultaba inquieto, sacudiéndole de cuando en cuando, y llevándoselo al oído. Alicia reflexionó un poco, y luego dijo:
-A cuatro.

-¡Va retrasado dos días! -suspiró el Sombrerero-....

... "¡Qué reloj más raro!", comentó. "¡Indica los días del mes, en vez de las horas"!. -¡Por qué había de hacerlo? -murmuró el Sombrerero-. ¿Indica tu reloj los años?
-¡Desde luego que no! -replicó Alicia con presteza-; pero es porque se está mucho tiempo seguido en el mismo año.
-ése es exactamente el caso del mío -dijo el Sombrerero.



Alicia se sintió terriblemente desconcertada. Le pareció que las palabras del Sombrerero no tenían sentido; sin embargo, no cabía duda de que hablaba su mismo idioma: "No le comprendo del todo", dijo lo más cortésmente que pudo.


-¿Sabes ya la solución de la adivinanza? -dijo el Sombrerero, volviéndose de nuevo a Alicia.



-Ni yo -dijo la Liebre de Marzo.

Alicia suspiró con cansancio. "Creo que podían emplear el tiempo mejor", dijo, "en vez de perderlo en adivinanzas que no tienen solución".

-Si tú conocieses al Tiempo como yo -dijo el Sombrerero-, no hablarías de perderlo. Es él.

-No sé lo que quiere decir -dijo Alicia.

-¡Claro que no lo sabes! -dijo el Sombrerero, echando la cabeza hacia atrás con desdén-. ¡Creo que ni siquiera has hablado nunca con el Tiempo!

-Tal vez no -replicó Alicia precavidamente-; pero sé que tengo que marcar el tiempo cuando estudio música.


-¡Ah! Eso lo explica todo -dijo el Sombrerero-. El no soporta que le marquen. Pero si mantuvieras buenas relaciones con él, haría casi lo que tú quisieras con el reloj. Por ejemplo, suponte que fueran las nueve de la mañana, justo la hora de empezar las clases: no tendrías más que susurrarle una indicación al Tiempo, ¡y allá que iría el reloj en un abrir y cerrar de ojos! ¡La una y media, hora de irse a comer!

-("Me encantaría que lo fuera ya”, susurró para sí la Liebre de Marzo.)


-Sería maravilloso, desde luego -dijo Alicia pensativa-; pero entonces... no tendría hambre.


-Al principio quizá no -dijo el Sombrerero-; pero podrías hacer que fuera la una y media el tiempo que quisieras. -¿Hace usted eso? -preguntó Alicia.

El Sombrerero negó tristemente con la cabeza. "¿Desde luego que no!",replicó. "Nos peleamos el mes de marzo pasado... poco antes de que ésta se volviera loca...” -señalando con la cucharilla del té a la Liebre de Marzo.-Fue en el gran concierto que dio la Reina de Corazones, donde yo tenía que cantar: ¡Tiembla, tiembla, murcielaguito! ¡Yo no sé que tramarás!"...


... -Bueno, pues apenas había terminado la primera estrofa -dijo el Sombrerero-, cuando chilló la Reina: "¡Está matando el tiempo! ¡Que le corten la cabeza!".


-¡Qué crueldad! -exclamó Alicia.

-Y desde entonces -prosiguió el Sombrerero con tristeza-, ¡no quiere hacer lo que le pido! Ahora siempre son las seis. ...






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viernes, 16 de abril de 2010

Las falacias matematicas son problemas de lógica?

Un recurso que ya apenas usamos en clase son lo que se llama falacias matemáticas, no parece que interesen mucho a los alumnos, por eso cuando en un blog del que soy seguidora  ( http://eliatron.blogspot.com//), apareció una que parte de que 4 = 5, no le presté más atención.
Sin embargo,  me equivocaba, la potencia de las redes sociales: (tuenti, facebook, ... )  ha hecho que mis alumnos  manifiesten  su interés. Por ello y a  petición de Nicolás  quiero invitarlo así como  a Alvaro, a Jorge , a ... todos los que querais, a que vuestras  reflexiones y opiniones la compartamos aquí.

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domingo, 4 de abril de 2010

La antropología a la inversa: Los Papalagi

En clase me gusta resaltar que no es lo mismo el inverso  que la inversa -es cuestión de géneros-el inverso del seno de un ángulo es la cosecante del ángulo, la función inversa del seno de un ángulo es el arcoseno- y aquí los géneros se entremezcan en perfecta armonía-.

En sentido inverso o en el ordinario podían  recorrer las horas  los relojes que vi en  mi último viaje a Italia  en el interior del Palazzo Ducale en Venecia, motivo por el que éste de la imagen  ( que tome en un día con niebla) tiene el número  romano cuatro como IIII ,evitando así la confusión entre el IV y el VI.


 Este reloj de San Marcos en la Torre del Reloj [dell’Orologio, en italiano] está en el lado norte de la Plaza de San Marcos , construido en 1496, marca las horas, las fases de la luna y el sol  y el zodiaco: en su centro, la Tierra - no fue hasta el s. XVI que Copernico, matemático,  jurista, físico, clérigo católico, gobernador, administrador, líder militar, diplomático , economista y como afición: astrónomo, inició la Revolución Científica defendiendo la Teoría heliocéntrica.-  Me sorprendió la posición del uno como la primera hora del dia del calendario , aquella en que comenzaba el día solar

 ¿ Cúando comienza entonces un día?; nosotros que nos tenemos por civilizados  y expertos en fabricación de precisos relojes  atómicos hemos perdido "el norte"  con los cambio horarios.

Ya podíamos  cojer nuestras  pequeñas y redondas máquinas del tiempo, aplastémoslas y digámosnos  que hay más tiempo entre el amanecer y el ocaso del que un hombre ordinario puede gastar.
( extraido de Los Papalagi ).

Descubro  así cuánto estamos perdiendo con el estudio antropológico : Los Papalagi.

 Una colección de discursos  para su pueblo de un jefe de la Isla de Samoa  tras su viaje a Europa en 1914 después de conocer al artista alemán Erich Scheurmann  con el que trabó amistad cuando éste viajó hasta allí  huyendo de la I Guerra Mundial.-entonces era colonia alemana- ( de ahí su excelente cerveza que ya me gustaría probar in situ).
En este viaje el jefe samoano Tuiavii de Tiavea  hace un estudio antropológico a la inversa: somos nosotros los estudiados  ! y no quedamos en muy buen lugar! .

Introducción

Tuiavii tenía un extraordinario carácter. Se había elevado sobre sus compañeros, porque vivía conscientemente y por eso poseía esa exigencia interior que nos separa de las gentes primitivas, más que cualquier otra cosa.

Debido a su ser, propio de esta clase de hombres, Tuiavii deseaba conocer más de esa lejana Europa. Ese deseo ardía en su interior desde los días escolares en la misión marista, y solamente fue satisfecho cuando llegó a adulto. Se unió a un grupo de etnólogos que volvían tras acabar sus estudios y, visitó uno tras otro, la mayoría de los estados de Europa, donde llegó a conocer su cultura y peculiaridades nacionales. Una y otra vez me maravilló la exactitud con que recordaba hasta los más pequeños detalles. Tuiavii poseía en alto grado el don de la observación sobria e imparcial. Nada podía ofuscarle; nunca se permitía ser apartado de la verdad por palabras. En realidad lo vio todo desde su originalidad, aunque a lo largo de su visita nunca pudo abandonar su propio punto de vista.

Tuiavii, el inculto habitante de la isla, consideró la cultura europea como un error, un camino a ninguna parte. Esto sonaría un poco pomposo si no estuviera dicho con la maravillosa simplicidad que traicionaba el lado débil de su corazón. Es verdad que pone en guardia a sus compatriotas y les dice que se libren de la dominación europea pero al hacerlo su voz se llena de tristeza y delata que su ardor misionero nace de su amor por la humanidad, no del odio. «Vosotros, compañeros, pensáis que podéis mostrarnos la luz”, me dijo cuando estuvimos juntos por última vez, pero «lo que realmente hacéis es tratar de arrastrarnos a vuestra charca de oscuridad”. Él miraba el ir y venir de la vida con honestidad de niño y amor por la verdad, y por eso encontraba discrepancias y defectos morales que, y al acumularlos en su memoria, se convirtieron en lecciones de vida. No entiende dónde radica el mérito de la cultura europea, que alinea a su propia gente y los hace falsos, artificiales y depravados. Cuando resume lo que la civilización nos ha aportado, empezando por nuestro aspecto, descrito como el de un animal cualquiera; lo llama por su propio nombre, con una actitud muy antieuropea e irreverente, describiéndonos de forma incompleta pero correcta, de manera que acabamos sin saber quién es el que ríe, el pintor o su modelo.

En esta aproximación infantil a la realidad, a corazón abierto, reside, pese a su falta de respeto, el verdadero valor para nosotros los occidentales de los discursos de Tuiavii; por eso siento que su publicación está justificada. Las guerras mundiales nos han convertido en occidentales escépticos con nosotros mismos; empezamos a preguntarnos sobre el valor intrínseco de las cosas y a dudar de si podemos llevar a cabo nuestros ideales a través de nuestra civilización. Por ello deberíamos considerar que no estamos, quizá, tan civilizados y descender de nuestro nivel espiritual al pensamiento de este polinesio de las islas de Samoa, que no está aún agobiado por una sobredosis de educación, que es todavía original en sus sentimientos y pensamientos y que quiere explicarnos que hemos matado la esencia divina de nuestra existencia, reemplazándola por ídolos.



Erich Scheurmann
LOS PAPALAGI NO TIENEN TIEMPO

Los Papalagi adoran el metal redondo y el papel tosco; les da mucho placer poner los zumos del fruto muerto y la carne de los cerdos, bueyes y otros animales horribles dentro de sus estómagos. Pero también sienten pasión por algo que no podéis comprender, pero que a pesar de esto existe: el tiempo. Lo toman muy en serio y cuentan toda clase de tonterías sobre él. Aunque nunca habrá más tiempo entre el amanecer y el ocaso, esto no es suficiente para ellos.



Los Papalagi nunca están satisfechos con su tiempo y culpan al Gran Espíritu por no darles más. Sí, difaman a Dios y a su gran sabiduría dividiendo cada nuevo día en un complejo patrón, cortándolo en piezas, del mismo modo que nosotros cortamos el interior de un coco con nuestro machete. Cada parte tiene su nombre. Todas ellas son llamadas segundos, minutos u horas. El segundo es más pequeño que el minuto y el minuto más pequeño que la hora. Pero todos ellos ensartados juntos forman una hora. Para hacer una hora, necesitas sesenta minutos y muchos, muchos segundos.



Ésta es una historia increíblemente confusa, de la cual yo mismo no he entendido todavía los puntos más sutiles, puesto que es difícil para mí estudiar esta tontería más allá de lo necesario. Pero los Papalagi le atribuyen mucha importancia. Hombres, mujeres y hasta niños demasiado pequeños para andar, llevan una máquina pequeña, plana y redonda, dentro de sus taparrabos. atada a una cadena de metal pesado, colgando alrededor de la garganta o alrededor de la muñeca; una máquina que les dice la hora. Leerla no es fácil. Se les enseña a los niños arrimándolos a sus orejas, para despertar su curiosidad.



Estas máquinas son tan ligeras que puedes levantarlas con los dedos y llevan una maquinaria dentro de sus estómagos, como los grandes barcos que todos vosotros conocéis. Hay también grandes máquinas del tiempo, que permanecen de pie en el interior de sus cabañas, o colgando de una gran casa para así ser más visibles. Ahora bien, cuando una parte del tiempo ha pasado, queda indicado por dos pequeños dedos sobre la cara de la máquina y, a la vez, grita y un espíritu hace chocar el hierro en su interior. Cuando en una ciudad europea ha pasado cierta parte del tiempo, estalla un espantoso y clamoroso estrépito.



Al sonar este ruido del tiempo, los Papalagi se lamentan: «¡Terrible, otra hora esfumada!». Y entonces, como una norma, ponen el rostro sombrío de alguien que tiene que vivir una gran tragedia. Asombroso, pues inmediatamente después empieza una nueva hora.

Nunca he sido capaz de comprender eso, pero creo que debe ser una enfermedad. Lamentos comunes a la gente blanca son: el tiempo se desvanece como el humo, el tiempo corre y dame sólo un poco más de tiempo.



He dicho que probablemente es alguna clase de enfermedad; porque cuando el hombre blanco siente deseos de hacer algo, cuando por ejemplo su corazón desea ir caminando por el sol, navegar en un bote por el río o hacer el amor a su amiga, usualmente se priva de su propia dicha al ser incapaz de encontrarlo. Mencionará miles de cosas que se llevan su tiempo. Malhumorado y farfullando soporta un trabajo que no siente ganas de realizar, que no le da ningún placer y al que nadie más que él mismo le obliga. Y cuando, repentinamente, descubre que en verdad tiene tiempo o cuando otros se lo dan -los Papalagi se dan a menudo unos a otros tiempo y ningún regalo es más preciado que ése- entonces descubre que no sabe qué hacer durante ese tiempo en particular, o que está demasiado cansado de su trabajo, sin alegría. Y siempre está determinado a hacer esas cosas mañana, porque hoy no tiene tiempo.

Hay Papalagi que dicen no tener nunca tiempo. Caminan aturdidos como si hubieran sido tomados por un aitu y dondequiera que se muestren provocan desastres, porque han perdido su tiempo. Estar poseído es una terrible enfermedad que la medicina del hombre no puede curar y que contagia a muchos otros, volviéndolos profundamente infelices.



Porque los Papalagi siempre están asustados de perder su tiempo, no sólo los hombres, sino también las mujeres y hasta los niños pequeños; todos saben exactamente cuántas veces el sol y la luna se han levantado desde el día en que vieron la gran luz por primera vez. Sí; juega un papel tan importante en sus vidas, que lo celebran a intervalos regulares, con flores y fiestas. Muy a menudo he observado que la gente tenía que avergonzarse por mí, porque me preguntaban mi edad y yo empezaba a reírme y no la sabía. «Pero tú tienes que saber tu propia edad». Entonces guardaba silencio y pensaba: es mejor para mí no saberla.



¿Cuántos años tienes?, significa cuántas lunas han vivido. Examinar y contar de ese modo está lleno de peligros, porque así se ha descubierto cuántas lunas suele vivir la gente. Entonces guardan eso en la mente y cuando han pasado una gran cantidad de lunas, dicen: «Ahora tengo que morir pronto». Se vuelven silenciosos y tristes y, en efecto, mueren después de un corto período.

En Europa hay realmente poca gente que tenga tiempo. Puede incluso que ninguna. Ésa es la razón por la que la gente corre por la vida como una piedra lanzada. Casi todos mantienen sus ojos pegados al suelo cuando caminan y balancean sus brazos para llevar mejor el paso. Cuando alguien les para, le gritan malhumoradamente: «¿Por qué me has parado? No tengo tiempo.

¡Haz buen uso de tu propio tiempo!» Parece que piensan que un hombre que camina rápido es más valiente que uno que camina despacio.

Una vez vi la cabeza de un hombre casi explotar, sus ojos girar sobre sí mismos, su gaznate hacerse ancho, abierto como el de un pez moribundo, y pegar con sus manos y pies, sólo porque su criado había llegado un poco más tarde de lo que había prometido que haría. Se suponía que ese respiro era una pérdida considerable que nunca podría recuperarse de nuevo. El criado tuvo que abandonar la choza; el Papalagi le perseguía y le llamaba nombres. «Esto es ya el límite, porque me has robado mucho tiempo! ¡Un hombre que no respeta el tiempo es una pérdida de tiempo!»


Otra vez vi a un Papalagi que tenía tiempo y nunca se lamentaba a causa de él. Pero ese hombre era pobre, sucio y despreciado. La gente caminaba a su alrededor trazando un gran círculo y nadie le concedía ninguna atención. No entendí eso, porque su paso era lento y seguro, y sus ojos tranquilos y amistosos. Cuando le pregunté cómo había sucedido eso, movió su cabeza y dijo tristemente: «Nunca he sido capaz de aprovechar mi tiempo; por eso ahora soy pobre y un zoquete despreciado». Ese hombre tenía tiempo, pero no era feliz.

Con toda su fuerza y todas sus ideas, los Papalagi intentan ensanchar el tiempo tanto como pueden. Usan agua y fuego, tormentas y relámpagos del firmamento, para refrenar el tiempo. Ponen ruedas de hierro bajo sus pies y dan alas a sus palabras, sólo para ganar tiempo. Y ¿para qué sirve todo ese trabajo y esos problemas? ¿Qué hacen los Papalagi con su tiempo? No he averiguado nunca lo bastante, aunque a juzgar por sus palabras y ademanes uno pensaría que están invitados personalmente por el mismo Gran Espíritu a un gran fono.



Creo que el tiempo resbala de sus manos como una serpiente, deslizándose de una mano húmeda, sólo porque tratan siempre de agarrarse a él. No permiten que el tiempo venga a ellos, sino que lo persiguen con las manos extendidas. No se permite malgastar el tiempo tumbándose al sol. Siempre quieren mantenerlo en sus brazos, darle y dedicarle canciones e historias. Pero el tiempo es tranquilidad y paz amorosa, amar, descansar y tenderse en una estera imperturbable. Los Papalagi no han entendido al tiempo y, por consiguiente, lo han maltratado con sus bárbaras prácticas.
 

¡Oh, mis hermanos amados!, nosotros nunca nos hemos lamentado del tiempo, lo hemos amado como era, sin perseguirlo o cortarlo en rebanadas. Nunca nos da preocupación o pesadumbre. Si hay entre vosotros alguno que no tiene tiempo, ¡dejadle que hable! Nosotros tenemos tiempo en abundancia, siempre estamos satisfechos con el tiempo que tenemos, no pedimos más tiempo del que ya hay y siempre tenemos tiempo suficiente. Sabemos que alcanzaremos nuestras metas a tiempo y que el Gran Espíritu nos llamará cuando perciba que es nuestro plazo, incluso si no sabemos el número de lunas gastadas. Debemos liberar al engañado Papalagi de sus desilusiones y devolverle el tiempo. Cojamos sus pequeñas y redondas máquinas del tiempo, aplastémoslas y digámosles que hay más tiempo entre el amanecer y el ocaso del que un hombre ordinario puede gastar.

El texto completo:


http://www.sisabianovenia.com/LoLeido/Ficcion/Papalagis.htm

 La lectura de estos discursos nos puede hacer alejarnos de nuestro centro para mirarnos desde fuera y así poder aprehender  cuáles son los valores que guian nuestra manera de pensar y de comportarnos. Valores que  resultan imperceptibles limitados por la inconsciencia de nuestro devenir cotidiano.

También nos puede revelar cómo de irracional  deben de resultar nuestro estudios antropológicos, nuestras descripciones, sobre las  realidades de los  otros. Y por tanto reflexionar sobre la ofuscación  del etnocentrismo.




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jueves, 1 de abril de 2010

Descubriendo Matemáticas en cada viaje

Una visita a Peñafiel me hizo evocar sabores del castellano antiguo: imagino al infante Don Juan Manuel saboreando un lechazo al horno en el Molino de Palacios, degustando cualquiera de los caldos de la Ribera del Duero, paseando por la orilla del río Duratón, para descansar en el majestuoso Convento de San Pablo donde se dice escribió El Conde Lucanor, perdiéndose por los dos  kilómetros de laberintos de las bodegas en las entrañas de su castillo reapareciendo como si se tratase de un viaje en el tiempo en las modernísimas Bodegas Protos del arquitecto Richard Rogers, donde  la tecnología convive en perfecta simbiosis con el moho de sus bodegas : aromas de roble y frutas que invitan a disfrutar del buen vino.


Prismas del majestuoso Convento de San Pablo de estilo gótico-mudéjar; las  espirales de  las volutas  sobresalen embelleciendo el conjunto por sí mismas, superficies de revolución, cilindros para destacar la Torre del Homenaje del castillo rematadas por siete discos circulares concéntricos,...


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La hélice como curva optima para una escalera en la bodega en la que duermen decenas de miles de toneles apilados en perfecta armonía, una sucesión de cinco bóvedas parabólicas que conforman un figurado racimo; simetría especular ,...; en mi viaje, entre el disfrute del buen comer y beber me gusta encontrar Matemáticas.

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