Matemáticas y algo más.

domingo, 28 de noviembre de 2010

Por esos errores que todos cometemos en Álgebra: para mis alumnos de 4º E.S.O.

Cuando nos falta  vocabulario, todos, alumnos y profesores decimos " la cosa esa"; efectivamente así hacian referencia a la incógnita en los enunciados de los problemas de matemáticas y en los tratados de Álgebra, como en el libro de Juan Bautista Tolra, publicado en Tarragona en 1619: "Tratado de Arte mayor de Aritmetica, llamada Algebra o regla de la cosa". 

El primer libro de álgebra escrito en castellano se publicó en Valencia en 1552  " Libro Primero de Arithtmetica Algebratica" de Marco Aurel , digitalizada en La Biblioteca virtual Miguel de Cervantes y que puedes disfutar en el enlace:

En dicho libro Marco Aurel  afirmaba que en  las ecuaciones del tipo:
 la única solución es x = 1.


¿Cómo es posible que no se diese cuenta de que la igualdad es una
identidad y, por tanto, se verifica para cualquier valor asignado a  x?.

Faltaba una buena notación que clarificara la resolución de las ecuaciones; en esa época  los algebristas eran "cosistas" , así Cervantes en  el capítulo XV de la segunda parte del Quijote  usa algebrista como un restaurador de huesos y no como un resolutor de ecuaciones .


Hoy día en clase, practicamos Álgebra  más que cualquier otra otra rama de Las Matemáticas,  en todos los niveles, pizarras llenas de x e y- leáse ye-  que ya lo  practiqué en clase y aparte de que me entran ganas de cantar  "la chica ye , ye"  mis alumnos se niegan a que la pronuncie así.

A veces un diablillo se cuela en los ejercicios cambiando un coeficiente, un signo, y complicando enormemente  su resolución.

El álgebra es la oferta hecha por el diablo al matemático. El diablo dijo: “Te daré esta potente máquina, que responderá cualquier cuestión. Todo lo que necesitas es darme tu alma: deja la geometría y te daré esta maravillosa máquina. (Michael Atiyah)  

Cita encontrada en el prologo que  Barry Mazur hace de un libro imprescindible:
 
Número  el lenguaje de la ciencia de Tobías Dantzig ( en la reedición de 2005 del clásico de 1930)






El álgebra es un arte científico. Su objeto son los números absolutos y las magnitudes medibles, las cuales son desconocidas, pero referidas a cualquier cosa conocida de tal manera que puedan ser determinadas, y a esta cosa conocida se llega, analizando las condiciones del problema; en este arte se buscan las relaciones que vinculan las magnitudes dadas en el problema con la incógnita, la cual, de la forma antes indicada, constituye el objeto del álgebra. La perfección de este arte consiste en el conocimiento de los métodos matemáticos, con ayuda de los cuales puede realizarse la determinación mencionada, tanto de las incógnitas numéricas como geométricas. La resolución algebraica, como es bien conocido, se realiza solo mediante una ecuación, o sea, por la igualación de unas potencias con otras.”
 Esta bella definición de Álgebra es del poeta persa Ghiyath al-Din Abu l-Fath Omar ibn Ibrahim l-Nishaburi al-Jayyam (عمر بن إبرهيم خيام بيشابوري en árabe), nuestro poeta de la entrada anterior en su libro titulado: 
" Tratado sobre demostraciones de problemas de Álgebra ". 

A Omar Jayyám  le debemos la utilización de la letra x para la incógnita  pues utilizaba el término árabe shay, que significa «cosa» , que fue traducida en obras científicas españolas como xay. Para abreviar, se fue reemplazando por su primera letra, la inicial, x.

Desarrollo el primer procedimiento de solución de las ecuaciones cuadráticas y cúbicas a partir de las secciones cónicas.


En esta página
, Omar está resolviendo el problema: "un cubo, los lados y los números son iguales a los cuadrados", o, en notación moderna, x 3 + cx + d = bx 2.
Las dos cónicas cuya intersección proporciona la solución es un círculo y una hipérbola, en el dibujo, estas curvas se cruzan dos veces, proporcionando así dos soluciones  de la ecuación  cúbica.




Y ya que  esta entrada trata de libros antiguos:


Exposición virtual de libros antiguos que, con motivo del año mundial de las Matemáticas, se organizó en Sevilla en diciembre del año 2000 en el enlace:

http://euler.us.es/~libros/iberia.html

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sábado, 20 de noviembre de 2010

Una historia de Amor y Astronomía: mi aportación al VIII Carnaval de Matemáticas

 Los amantes de las Matemáticas estamos de enhorabuena pues tenemos un Carnaval en el que compartir nuestros centros de interés. En esta VIII Edición el responsable de este evento es Juan Martínez-Tébar Giménez en su blog: Los Matemáticos no son gente seria. Para mí es un honor participar en esta ocasión con esta entrada:


Nos lo ha dicho Oscar Wilde : La mejor forma de librarse de la tentación es caer en ella y, sin embargo, nosotros erre que erre rebelándonos; Luis María Ansón me trae la belleza de los poemas orientales en los que el amor se hace constante antes de la vida.
 Ansón Menciona a Li Po,  poeta chino del s. XVIII, liberal y gran bebedor, igual que  otro de mis admirados  poetas,  el  matemático y astrónomo persa Omar Jayyám  ( s. XI ), autor de las Ruba'iyyat y protagonista del libro Samarcanda de Amin Maalouf y de la película: The Keeper: The Legend of Omar Khayyam.


Bebiendo solo a la luz de la luna


Si el Cielo no tuviera amor por el vino,
no habría una Estrella del Vino en el cielo.
Si la Tierra no tuviera amor por el vino,
no habría una ciudad llamada Fuentes de Vino.
Como el Cielo y la Tierra aman el vino,
puedo amar el vino sin avergonzar al Cielo.
Dicen que el vino claro es un santo,
el vino espeso sigue el camino (Tao) del sabio.
He bebido profundamente de santo y de sabio,
¿qué necesidad entonces de estudiar los espíritus y los inmortales?
Con tres copas penetro el Gran Tao,
tomo todo un jarro, y el mundo y yo somos uno.
Tales cosas como las que he soñado en vino,
nunca les serán contadas a los sobrios.

( Li Po)



Puesto que ignoras lo que te reserva el mañana, procura ser feliz hoy. Coge un ánfora de vino, siéntate a la luz de la luna y bebe, mientras te dices que quizás mañana te busque, en vano, el astro de la noche.  (Omar Jayyám )


Similitudes en poetas orientales,  vidas  apasionadas en la que coexistían estrellas  y amantes , el tiempo no existe. Amor y Astronomía. Refiere Ansón que Tsing Kuan, poeta del siglo XII, eleva el amor a las estrellas para cantar la séptima noche de la séptima luna. Es el Tsiao Chiao Sien, la historia enamorada del Vaquero y la Tejedora, encarnados en dos estrellas que se encuentran cada séptima noche de cada séptima luna. Cruzan entonces el río celeste, la Vía Láctea, sobre el puente de los cuervos, y hablan de amor y de tristeza; la idea del amor constante , antes dela vida también  aparece  en la dinastía Ching, cuando se hace culto al chen-yun, la rima divina, Wa Lan, que amó a su esposa tres millones de siglos antes de conocerla...


Poesía y Astronomía,  la biografía de Omar Jayyamse me fascina desde todos los ámbitos , como  astrónomo reseñar que se trasladó en 1070 a Samarcanda,(Samarcanda, el más bello rostro que la Tierra haya vuelto jamás hacía el sol.)donde se le encargó la construcción de un observatorio astronómico situado en Marv, (actualmente Mary, en Turkmenistán); formó parte del grupo de científicos que reformó el calendario Zaratustrano , el nuevo calendario fue formalmente inaugurado el 15 de marzo de 1079, y es el calendario empleado todavía hoy por los Persas. Para este nuevo caledario que se llamó Yalalí calculó la duración de un año con gran exactitud. (un error de 1 día en 3770 años, menor que el del calendario gregoriano que  se comenzaría a emplear en Europa a partir del 15 de octubre de 1582.)
Los persas habían conservado  el calendario Zaratustrano debido a su exactitud, a pesar de que la cultura islámica imponía a todas las naciones conquistadas su calendario lunar.






Samarcanda,  ciudad de 2700 años de antiguedad , declarada por la Unesco como Patrimonio de la Humanidad en el año 2001, uno de sus sultanes: Ulugh Beg tuvo un gran interés por la astronomía y en 1428 construyó un  inmneso observatorio astronómico  denominado Gurjani Zij .



Edificio cilíndrico  que tenía una altura  de unos 35 metros y una planta de 50 metros de diámetro. En su interior se encontraba un inmenso sextante  fajri mural de mármol de 36 metros de radio y una separación óptica de 180 segundos de arco, utilizado para mediciones astronómicas de una extraordinaria precisión para el año 1428.

En 1437 determina la longitud del año sidéreo como 365.2570370...d = 365d 6h 10m 8s (con un error +58s). En sus medidas empleó un gnomon de casi 50 metros de altura.
Tendrían que transcurrir 150 años hasta que los cálculos del danés Tycho Brahe mejorasen los del observatorio de Samarcanda.

 El observatorio fue destruido deliberadamente en 1449 aunque sus restos fueron desenterrados en 1908 y  se puede visitar hoy como museo.


Enlaces:
  • Fotografías de los restos del Observatorio:

     
     
     
     
     

    Y ahora, ¡pasea tu mirada sobre Samarcanda! ¿No es la reina de la tierra? Más altiva que todas las ciudades, cuyos destinos tiene entre sus manos.

    Edgar Allan Poe (1809-1849)


       

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    jueves, 11 de noviembre de 2010

    Semana de la Ciencia en Andalucía

    En un reciente informe la Unesco se hace eco de la falta de ingenieros, lo que conlleva un freno mundial en el desarrollo económico.
    Aversión a la Ciencia y a la Tecnología de nuestros alumnos; en un curso cualquiera de secundaria, ¿ cúantos matemafobos hay ?.
    Andalucía celebra La Semana de la Ciencia y de estas actividades he seleccionado las siguientes:







    FÍSICA Y BELLEZA CON 10 EXPERIMENTOS

    ¿Cuáles son los ensayos más fantásticos realizados en física a lo largo de la historia? Desde el Departamento de Física de la Universidad de Granada, Miguel Cabrerizo ha elegido una decena de propuestas y los ha presentado a alumnos de centros escolares y de secundaria con una doble finalidad: dar difusión a importantes avances científicos realizados por el hombre a lo largo de su historia y mostrar de una forma divertida la, injustamente considerada aburrida, labor de los físicos.

    La facultad de Ciencias de la Universidad de Granada se convierte durante la Semana de la Ciencia del 8 al 21 de noviembre en una galería experimental donde alumnos de centros de primaria y secundaria podrán hacer un recorrido por los 10 experimentos más bellos de la Física. El catedrático de Física Miguel Cabrerizo ha elegido una decena de ensayos que muestran principios de su materia, que los participantes recorren acompañados de sus explicaciones. Una forma para divulgar la física más allá de las fórmulas que memorizan en clase.
    Un grupo de alumnos sigue las explicaciones de Cabrerizo en torno al péndulo de Foucault

    Un grupo de alumnos sigue las explicaciones de Cabrerizo en torno al péndulo de Foucault


    Entre las experiencias propuestas en esta exposición-laboratorio se encuentra el experimento de Ernest Rutherford para el descubrimiento del núcleo atómico, representado mediante un ilustrativo modelo mecánico del complejo ensayo realizado por el científico. Tras bombardear una lámina de oro con partículas alfa y al ver que éstas se desviaban, refutó el anterior modelo atómico postulado y promulgó el modelo atómico de Rutherford, en el que se propone que el átomo se conforma por un núcleo de carga positiva y una serie de electrones con carga negativa que orbitan alrededor de éste.


    El experimento de la gota de aceite de Millikan, se encuentra representado en estas jornadas mediante una máquina similar a la que el físico estadounidense utilizó para determinar por primera vez la carga del electrón. Mediante la suspensión de diminutas gotas de aceite entre las paredes de un condensador aislado, pudo deducir la carga de los electrones, aplicando diferentes valores de tensión a las gotas en el condensador.


    El péndulo de Foucault también se encuentra la exposición. Un experimento con el que el físico francés pudo demostrar que la rotación terrestre se puede representar mediante el sistema de una plataforma fija en la que oscila libremente un péndulo.


    En el experimento de la doble rendija de Young con luz, el científico inglés Thomas Young demostró la naturaleza ondulatoria de la luz, esto es, que la luz es una onda. En la presentación realizada, se ha ejemplificado el experimento de doble rendija con fotones. En 1961, se realizó el mismo experimento con electrones, corroborando los mismos resultados.


    Con el ensayo de la balanza de Cavendish, el físico y químico británico obtuvo la primera medida de la masa de nuestro planeta Tierra.


    Otro de los experimentos es el prisma de Newton. Un sencillo mecanismo mediante el que el físico inglés demostró la refracción de la luz. Su experimento permitió conocer la complejidad de la luz visible, compuesta por diferentes colores que precisamente coinciden con los colores del arcoiris.


    En cuanto al experimento de Michelson-Nerly, estaba diseñado para medir la velocidad absoluta del movimiento de la Tierra en el espacio mediante ondas luminosas. El resultado negativo de dicho experimento fue la prueba definitiva para sentenciar que las ondas electromagnéticas no necesitan de ningún medio material para propagarse o lo que es lo mismo, que dichas ondas pueden desplazarse por el vacío. Esta afirmación fue de utilidad a Albert Einstein para la formulación de su Teoría de la Relatividad Especial.


    El cálculo del perímetro de la Tierra de Eratóstenes es otro de los experimentos más fabulosos realizados en la historia de la física. El célebre matemático griego, mediante el cálculo de la sombra proyectada por dos relojes de sol, uno situado en Siena y otro en Alejandría, y conociendo la distancia exacta entre ambas ciudades, calculó con bastante acierto la medida del radio terrestre. Entre otros aspectos, lo fascinante de este experimento, que se realizó aproximadamente 200 años antes de Cristo, es que demostró la enorme seriedad de los estudios de ciencia antiguos.


    Por último, los dos experimentos restantes son los realizados por el magnífico Galileo Galilei. El experimento de plano inclinado de Galileo, que está representado de forma curiosa en el laboratorio, fue el que le permitió afirmar que la distancia recorrida por un objeto es proporcional al cuadrado del tiempo transcurrido.


    El otro de los experimentos propuesto como de los más hermosos es el experimento de Caída Libre realizado también por este ilustre físico italiano. Con su experiencia, Galileo rebatió la propuesta de caída libre de Aristóteles y confirmó que, en ausencia de la resistencia ejercida por el aire, dos cuerpos de diferente masa caerán al vacío con una misma aceleración uniforme.

    Además de los 10 experimentos más bellos de la física, la facultad de Ciencias ha configurado un total de 79 itinerarios diferentes que pueden ser desarrollados por los alumnos de los centros de enseñanza secundaria inscritos en ellos, además de las exposiciones permanentes y proyecciones científicas que se ofrecerán durante esos días. En la presente edición, al margen de la afluencia del público en general, realizarán los distintos itinerarios alrededor de 2.000 alumnos pertenecientes a 39 Centros de Enseñanza Secundaria, lo que representa un incremento del 60% sobre la participación del año anterior.


    Más Información:


    Miguel Ángel Cabrerizo Vílchez
    Departamento de Física Aplicada
    Tlf.- 958243211


    Email: mcabre@ugr.es

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    domingo, 7 de noviembre de 2010

    Pasado y futuro se dan la mano : La magia del Círculo

    Cuando visualizamos el futuro podemos imaginamos unas ciudades circulares : Jacque Fresco desarrolla esta idea en su Proyecto Venus en el que no solo se justifica la disposición circular optimizando el espacio sino como un modelo de ciudad sostenible; son ideas, proyectos que no parecen interesar mucho  a esta clase política que nos dirige.

    Remontémonos a La Edad de Bronce , las ciudades, los templos se construían circulares- los tholos griegos-. En  1987  Guenadi Zdanovich descubrió Arkaim, en la frontera entre Rusia y Kazajistan   a medida que excavaban empezaron a resurgir plazas urbanizadas de una perfecta planificación geométrica. Algunos arqueólogos hablan de ciudadelas en forma de espiral, Zdanovich en cambio sugiere que  el trazado es circular «con paredes concéntricas inscritas unas dentro de otras».
    En la imagen una vista aérea de Arkaim.

    Trazado que da pie a elucubraciones -no siempre científicas- sobre lugares mágicos, circunferencias concéntricas en cuyo centro se unen todas las líneas radiales, estructura circular orientada a las estrellas, trazados  que señalan 18 eventos astronómicos... (incluyen los atardeceres y amaneceres en los días del equinoccio y solsticio, así como los atardeceres y amaneceres de la Luna Llena y Nueva ); reconstrucciones de dicha ciudad más o menos fiables, estudios más esotéricos que arqueocientíficos,  visitas guiadas, significado mágico de la mandala antes, ahora y siempre, y  para todas las civilizaciones.

    Independiente de tu interés en este tema:  histórico-arqueológico, arqueocientífico, astronomía, arquitectura, místico,..; es innegable la atracción que el círculo ejerce sobre el humano, el primitivo humano que hay que extraer de cada uno de nosotros, ( qué le vamos a explicar a un niño de La Vía Lactea, por ejemplo, si no puede ver las estrellas).
    Por eso quiero reproducir una fantática fotografía dell fotógrafo iraní Babak A. Tafreshi (premio de fotografía científica Lennart Nilsson 2009 por sus impresionantes imágenes del cielo persa.). Premiado por “reflejar una imagen del cielo nocturno que la mayoría de la gente de nuestros días ha olvidado". Y por "trasladarnos a lugares donde las estrellas todavía pueden ser contempladas como en el amanecer de la especie humanasegún el jurado de dicho premio.

    Tafreshi ha recorrido las regiones más recónditas de Irán para retratar los cielos tal y como debieron verlos los habitantes de la vieja Persia hace más de 2.000 años. En la imagen que he seleccionado por ejemplo, retrata el giro del firmamento sobre las tumbas de los reyes persas en Naqshe-Rostam, cerca de Persépolis.


    Enlaces consultados entre otros muchos:

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      sábado, 6 de noviembre de 2010

      Matemáticas y Naturaleza.

      «Las reglas matemáticas del universo se hacen visibles a los hombres en forma de belleza».
      John Michel ( estudioso inglés que en 1784 creó el concepto de estrella oscura)

      Cita materializada en el parque Selwo  aventura en Estepona ( Andalucía, España)  hasta el 8 de diciembre a través de una exposición fotográfica que muestra la relación existente entre la Naturaleza y las Matemáticas:

      ...'Geometría natural: animales, plantas, hojas, flores, semillas, agua, paisajes o fenómenos naturales' es el nombre de esta muestra, donde el visitante podrá observar la relación directa entre espirales en los zarcillos o en un caracol, bellas simetrías, tramas poligonales cinceladas por el viento o el agua, cardioides --curva con forma de corazón-- en una hoja o en la cara de una lechuza, etcétera.

      La exposición está compuesta por 45 imágenes repartidas entre la sala de muestras de Selwo, en el poblado central; y el Mirador de África, en la ruta de los valles. Su visita es gratuita para los que acudan al parque.

      Cada fotografía es "una lección de geometría" para el visitante, que podrá disfrutar de los colores y formas. Este paseo es una forma diferente de acercarse a las matemáticas y ver su presencia en la naturaleza en estado puro.

      Los autores de esta exposición son el grupo de profesores de matemáticas: Elia Añón, José Luis Belmonte, Amparo Fuentes, Inmaculada Gutiérrez, Olga Martín, Leopoldo Martínez, Lucía Morales y Pilar Moreno. Además, se incluyen imágenes premiadas en el VI Maratón de Fotografía Matemática de Leganés de Teresa Montes, Héctor Egido, Sandra Domínguez, Miguel Hernández y Alba Romero... 

      Si no te desplazas hasta  el parque, un enlace para disfrutar de esas  fotografías:
      http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=10844:geometria-natural&catid=60:fotografy-matemcas&directory=67

      Más exposiciones:
      "OTRA MIRADA A LAS MATEMÁTICAS" Museo de la CIencia y el agua de Murcia
      05-nov-2010 hasta 22-may-2011

      http://www.cienciayagua.org/exposiciones/index.php?id=321


      ( gracias María del Mar por esta aportación)

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      lunes, 1 de noviembre de 2010

      Las Matemáticas no me sirven: ¿ una hora de clase tiene unicamente 60 minutos?

      Mi amiga Marga-también profesora- me envia esta cita:
      "SI UN DOCTOR, UN ABOGADO O UN DENTISTA TUVIERA A TREINTA PERSONAS O MÁS EN SU OFICINA A LA VEZ, TODAS CON DIFERENTES NECESIDADES Y ALGUNAS QUE NO QUIEREN ESTAR ALLÍ ...Y EL DOCTOR, ABOGADO O DENTISTA, SIN AYUDA, TUVIERA QUE TRATARLOS A TODOS CON EXCELENCIA PROFESIONAL DURANTE DIEZ MESES, ENTONCES PODRÍAN TENER UNA IDEA DE LO QUE ES EL TRABAJO DEL DOCENTE EN EL AULA".
      (Kathy A. Megyeri. "Chocolate Caliente para el Alma de los Maestros")
       Me llega en un momento muy oportuno, cuando mi puente, que se supone de descanso y de atención a las  tareas familiares, transcurre entre montones de folios que leer con la atención que requiere la evaluación del  trabajo de los  alumnos materializado en forma de examen con  la equidad  suficiente para que los 76 alumnos se sientan igualmente tratados.
      ‎! Que ningún político me hable de Calidad de la Enseñanza: tengo dos grupos de bachillerato de Ciencias y Tecnología con 38 alumnos, de muy diversas procedencias e intereses, lo que provoca muchos niveles, incluso con problemas de visión, hipoacusias, muchos repetidores, alumnos con Matemáticas suspensas de cursos anteriores, otros que han cursado en 4º de E.S.O. la opción de Matemáticas A, o bien  obtuvieron el título a través de un P.D.C....
      Pues bien, no solo corregirles exámenes,  resúmenes, trabajo diario, atenderles dudas, control triple de faltas, ( pda, cuadernillo de notas del profesor, parte de faltas), sino el hecho de explicarle los criterios de corrección de un examen y que revisen el mismo . ¿ Qué tiempo necesito para atenderlos?......... No me salen las cuentas, el tiempo físico no se dilata como el profesor necesita. ! Que no me hablen de calidad  de la enseñanza, por favor, !

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