Un gran problema enmascarado por la aparente sencillez de un cuento: La Bella Durmiente

Sin palabras me han dejado Agustín , Antonio y Nicolás con sus comentarios de la entrada anterior al demostrar un tesón y una especial capacidad para desmenuzar un problema; este rigor en el trabajo es una virtud dificil de encontrar hoy; de ahí la carencia in crescendo de científicos de Occidente y motivo por el que los orientales están copando los puestos de científicos.

Por eso, - y por ellos- en  la II Edición del Carnaval Matemático propongo un problema que  celebra  su undécimo cumpleaños desde que fue publicado en rec.puzzle y que viene disfrazado de una ingenua y bella durmiente- si bien no es la mujer que hoy 8 de marzo querría  que fuese la protagonista de esta entrada-; me resarciré dedicando una próxima entrada  a Florence Nightingale.
"Supongamos que es domingo, y que la Bella Durmiente se pincha el dedo con la rueca. En ese instante, aparece la bruja y -antes que la muchacha se duerma- arroja una moneda al aire. Si sale cara, la Bella Durmiente se despertará de la maldición el lunes y ahí se acabará la historia, sin necesidad de príncipes salvadores y sin paradojas de ninguna clase. Pero si sale cruz, también se despertará el lunes, aunque solo para volver a dormirse hasta el martes. Cuando despierte el martes estará libre de la maldición pero tendrá una pequeña secuela: gracias a las malas artes de la bruja, no se acordará si se despertó o no el lunes.



Puestas así las cosas, y con el Príncipe ausente del relato, nuestra Bella Durmiente se despierta sin saber si es lunes o martes. Dado que si despertó el lunes dicho evento fue borrado de su mente por la bruja, no tiene forma de saber en qué día se encuentra. Adam Elga ,(  filósofo de la ciencia y profesor de la Universidad de Princeton , famoso por haber creado varios puzzles difíciles de resolver, basándose en el trabajo de Arnold Zuboff (publicado como «One Self: The Logic of Experience»), asume que La Bella Durmiente es perfectamente racional y que el domingo, antes de quedar dormida, se ha enterado del plan elaborado por la bruja. Con estos datos, la niña puede asignar probabilidades al hecho de que sea lunes y al hecho de que sea martes. O, dicho de otro modo, puede asignar probabilidades al hecho de que la moneda cayera en cara o que cayera en cruz.
La cuestión a resolver es: ¿qué probabilidad subjetiva debería otorgarle ella a la hipótesis de que la moneda salió cara? ."

  La potencia de éste y otros problemas lógicos viene dada por la sutileza del lenguaje que puede sugerir ambiguedad y permitir varias soluciones,- si bien esta riqueza del lenguaje  a veces resulta redundante, como el político que, hablando sobre la inmersión lingüista en las aulas manifestaba que: "...ni economicamente, ni presupuestariamente, ni financieramente"... ???; ! si a la primera lo entendí !; no así mis alumnos que, ni repitiendo me entienden, creo que no comprenden el lenguaje que uso, esa es la clave del fracaso escolar , del cada vez  más bajo nivel en Matemáticas.

Treinta- o más- niños y jovenes campean en clase de Matemáticas,  dispersos, con múltiples tareas y centros de interés, quieren llamar la atención y no tienen tiempo de escucharnos- todos no- Shinjue está pendiente de mí y absorta en sus ejercicios y problemas-; apenas atienden, lo justo para que llenemos sus cúbicas cabezas con contenidos desprovistos de sentido que apenas les llegan hasta completar sus exámenes; hace ya tiempo que no conseguimos encender  en ellos la hoguera del conocimiento.

Percibo que no estamos educando cuando compruebo la incapacidad que tienen los alumnos para expresar oral o por escrito cualquier concepto por manido o trillado que creamos debe estar; me refiero a lo que los investigadores en Didáctica de las Matemáticas llaman TEPs [ producciones textuales autónomas de los estudiantes ] ( Selter, 1994); deberían  expresarse de forma comprensible y deleitarse en ello cuando se pretende introducir un concepto nuevo y se les pregunta que noción tienen de él, cuando se les pide que en los exámenes expliquen lo que hacen- conscientes de que el único destinatario  de su escrito es el profesor obvian  transcribir sus ideas, éste conoce el tema y no hay que explicarle nada-, cuando se les pide un resumen/esquema del tema se extrañan pues las matemáticas no se leen, -el libro solo se usa para los ejercicios,  y que no sean problemas, que estos, aún sin haberlos leido no saben hacerlos-.
Cuando escribo el algoritmo de resolución de un ejercicio - conjunto  de intrucciones o reglas bien definidas, ordenadas y finitas que permite realizar una actividad mediante pasos sucesivos que no generen dudas a quien lo ejecute-, este no les conduce a una adecuada resolución porque o no copian dichos pasos o no les hacen caso, ¿ será porque no llegan a comprenderlos?.
Abordar  así la resolución de problemas o la formulación de hipótesis es una entelequía.
Insisto en que para una comprensión matemática y una   toma de  conciencia de lo trabajado en nuestras clases es necesario estimular/obligar al alumno a que se exprese.

Concretamente, para ellos un triángulo no es un objeto, base  es una, la que apoya dicho triángulo en una mesa imaginaria, ¿ y si el triángulo lo apoyamos en dicha mesa sobre un vértice! !qué caos!; la altura es una, siempre la misma, para un siempre triángulo equilátero, el concepto de altura es totalmente desconocido para un triángulo feucho: el escaleno.

Máas grave es que una vez trazadas a mano alzada las tres alturas de todo triángulo, una vez definida por mí, ante su imposibilidad de definir dicho concepto, en un examen un alumno de 15 años defina rigurosamente la misma como: "La altura en sí, es la altura máxima que alcanza un cuerpo"

 "La matemática es mucho más que mera rutina técnica, al igual que la literatura es mucho más que mera gramática"

Miguel de Guzmán


http://dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=742932

Comentarios

  1. Hola Manoli:
    Lo que cuentas referente a la falta de interés y de base de la mayoría de tus alumnos me deja desconcertado. En general la juventud va asociada a una gran curiosidad, que es la que nos incita a resolver problemas. Tiene que ser muy descorazonador el ejercer tu profesión en esas condiciones.
    En cuanto al problema que propones, no alcanzo a entender las sutilezas ocultas que debe guardar el enunciado. Para mi la solución es 1/2,pero me parece demasiado simple.Espero que Agustín o Nicolás encuentren otra solución menos inmediata, y de esta manera se pueda "discutir en condiciones". Ya te conté en el anterior problema que no tengo ni idea de cálculo de probabilidades. Me apasionan las matemáticas, pero me decanto más por el álgebra, y un poquito por el cálculo.
    Un saludo
    Antonio

    ResponderEliminar
  2. Aquí hay tomate, pero yo acepto el reto.

    Creo que sería importante acordar que en este problema se asume que la Bella es preguntada cada vez que se despierta.
    El organigrama sería el siguiente:

    Es domingo se tira la moneda.
    Si sale cara:
    - Se despierta el Lunes a la Bella.
    - Se le pregunta
    FIN

    Si sale cruz:
    - Se despierta el Lunes a la Bella.
    - Se le pregunta
    - Se le hace dormir de nuevo hasta el Martes
    - Se le pregunta (sin saber ella si es Lunes o Martes)
    FIN

    La pregunta que se le hace es: ¿con qué probabilidad crees que la moneda salió cara?


    La respuesta evidente sería 1/2 ya que se ha dicho que la moneda no estaba trucada.

    La sutileza es la siguiente que se plantea por ahí es la siguiente:

    Imaginemos que el experimento se repite pej, 100 veces cabe esperar 50 caras y 50 cruces. Tras esto vemos que la Bella despertará 150 veces , 50 de ellas se producirán después de haber salido cara ( y todas en Lunes) y 100 después de haber salido cruz (50 en Lunes y 50 en Martes)

    Lo anterior indicaría que de cada tres despertares, hay dos que se producen tras una cruz y solo uno tras una cara. Por lo que podría adoptar el criterio de asignar la probabilidad de 1/3 a la cara y 2/3 a cruz.

    Los dos criterios parecen razonables. Parece que no hay un ocnsenso sobre cual es la respuesta correcta. Ni siquiera parece estar claro para el que inventó el problema, el cual mantiene una pugna con otros sobre el resultado.

    Para mi la cuestión está entonces, no tanto en resolver el problema en sí (el cual presenta ya dos soluciones que no parecen incorrectas) sino de establecer qué cuestión del enunciado es la que da origen a la confusión. Qué es lo que no está bien definido para que se dé lugar a dos posibles soluciones sobre las cuales no haya consenso. De hecho creo que habría que indagar cual es la pregunta original en inglés para "hilar fino".

    La solución debería ser algo así: "Sr Adam Elga, he leído su problema pero el enunciado se presta a confusión debido a xxxxxxxx. Y esa es la razón por la que genera dos respuestas. Vaya usted al blog de Manoli para más detalles." :-)

    De todas formas tampoco hay que descartar del todo que alguna de las dos soluciones fuera incorrecta con respecto al enunciado.

    De momento esta es mi primera aportación, que espero que aclare algo. A ver quien se anima a aportar su punto de vista.

    ResponderEliminar
  3. En el enunciado original, hay un dato que no acierto a entender si tiene importancia; pone que la bruja lanza la moneda antes de que la Bella Durmiente se duerma. ¿Tiene alguna importancia?. ¿Hay que suponer que la Bella Durmiente ve lo que sale?. En ese caso la pregunta es absurda. ella no puede asignar probabilidad dado que conoce el resultado. No teniendo en cuenta esta tontería y dado que solo se tira la moneda una vez el porcentaje que ella puede, y debe, asignar es del 50%.
    En cuanto al enunciado que propone Agustín, no entiendo cual es la pregunta.¿ se trata de saber la probabilidad de que salga cara en el total de las tiradas, o en la última tirada?. Si es en la última tirada la probabilidad es 50%. Si es en todas las tiradas, es mas complicado.De los 150 despertares de los que habla Agustín, yo veo 50 en lunes con cara, 50 en lunes con cruz que implican otros 50 despertares en martes. Estos tienen la misma probabilidad de ser con cara o con cruz, o sea 25 con cara y 25 con cruz. Esto hace que en total tengamos 75 con cara y 75 con cruz.
    Me sigue dando una probabilidad del 50%.
    Un saludo
    Antonio

    ResponderEliminar
  4. Antonio, no parece que tenga importancia el que la tire antes de que se duerma. Lo que si es seguro es que la Bella no ve la tirada de la moneda. Por otro lado, la moneda solo se tira una vez (al principio). La Bella puede ser interrogada una sola vez (en caso de que salga cara) o dos veces (en caso de que salga cruz). La Bella conoce el enunciado del problema desde el mismo Domingo o antes, y no tiene por qué olvidarlo a lo largo del proceso.

    Antonio, observa ahora que al tirar la moneda una sola vez (al principio) ahora nos encontramos con 50 despertares consecuencias de salir cara y 100 despertares consecuencia de salir cruz. Y Bella podría decir: "solo 1/3 de las veces me despierto tras una cara"

    En este momento me encuentro dándole vueltas al problema, pero de momento coincido contigo: Si la pregunta es ¿cual es la probabilidad de que salga cara (o cruz)? La respuesta 1/2 es la que me parece lógica, pues lo contrario es lo mismo que decir que la moneda estaba trucada. Lo cual contradice el enunciado.

    Pero en el original no se pregunta eso sino ¿Cual es el grado de creencia de que la moneda salió cara?

    Y está claro que aquí es en esta pregunta tan ambigua donde se crean los problemas. Si el autor nos definiera que es eso de "grado de creencia" estoy seguro de que el problema se resolvería sin ambigüedad.

    ResponderEliminar
  5. Tras meditar gran parte de la noche, he dado con una solución que clarifica el problema (y que se decanta por una de las soluciones). La publicaré aquí en las próximas horas ya que se me ha hecho tardísimo dándole vueltas al asunto y no sería capaz de exponerlo con claridad en este momento.

    ResponderEliminar
  6. MI SOLUCIÓN AL PROBLEMA DE LA BELLA DURMIENTE

    El problema nos pregunta por el grado de creencia, lo que parece equivalente a la probabilidad subjetiva. La probabilidad subjetiva es aquella que el observador puede deducir de los datos incompletos que tiene. Un ejemplo de esto sería rellenar una quiniela de fútbol de forma racional (no al azar). Aplicamos una probabilidad subjetiva en base a lo que sabemos de los equipos, jugadores, etc...

    Ahora bien, la probabilidad subjetiva a la hora de rellenar una quiniela tiene un objetivo muy concreto: acertar el mayor número de resultados posibles. En el problema que nos ocupa este objetivo no está definido. Y debería estarlo porque de lo contrario ¿en base a qué asignamos esa probabilidad subjetiva?

    No nos queda otro remedio que asignar nosotros los posibles objetivos ya que el autor del problema no lo hace. Vamos a contemplar los cuatro que parecen más lógicos (en el enunciado se dice que Bella es totalmente racional) . Los llamaremos A, B, C y D


    A) Solo se espera de Bella que acierte la fiabilidad que tiene la moneda. Y en ese sentido se nos pide la probabilidad.

    Solución: Sería la solución trivial, puesto que ya se dice en el enunciado que la moneda no está trucada. Habría que asignar 1/2 a la probabilidad de salir cara. Fin del problema.


    El resto de los objetivos tendríamos que suponerlos basados en las preguntas que se le hace a Bella el Lunes y (en su caso) el Martes, pues no hay ningún otro acontecimiento en el que Bella participe. Y aquí se pueden presentar dos casos básicos:

    B) Que el objetivo sea acertar el mayor número de apariciones CARA/CRUZ
    C) Que el objetivo sea acertar el mayor número de apariciones CARA/CRUZ cometiendo el menor número de fallos.
    D) Que el objetivo sea acertar siempre y no fallar nunca.

    El análisis es en principio fácil, pues solo hay cuatro posibilidades.

    C= Cara X= cruz

    1) La moneda salió C y Bella dijo C
    En este caso acierto=1 ; fallo= 0

    2) La moneda salió C y Bella dijo X
    acierto = 0; fallo =1

    3) La moneda salió X y Bella dijo C en ambos casos (lunes y martes)
    acierto = 0; fallo = 2

    4) La moneda salió X y Bella dijo X en ambos casos (lunes y martes)
    acierto = 2 ; fallo =0


    Obviamos la posibilidad de que Bella dé un resultado distinto el lunes y el martes debido al “efecto olvido” del problema. (no sabríamos que es lo que habríamos dicho el día anterior) . Aunque teóricamente podríamos especular con generar una respuesta al azar.

    (continúa en el siguiente comentario)

    ResponderEliminar
  7. (viene del comentario anterior)

    El suceso [salir C o X] es equiprobable objetivamente, porque así lo define el problema (moneda no trucada)

    Si elegimos cara (caso 1 y3) tendremos:
    Aciertos (1+0) Errores (0+2) => 1 acierto y 2 errores


    Si elegimos cruz (caso 2 y 4) tendremos:
    Aciertos (0+2) Errores (1+0) => 2 aciertos y 1 error


    B) Si el objetivo fuera el maximizar los aciertos, deberíamos coger X (2 aciertos) frente a C (1 acierto).

    La probabilidad subjetiva asignada sería de 1/3 para cara y 2/3 para cruz

    C) Si el objetivo fuera maximizar aciertos y minimizar errores (con errores penalizados de la misma manera que los aciertos bonificados) entonces tendríamos, para cara (1 acierto y 2 errores) y para cruz (2 aciertos y 1 error) por tanto nos daría igual coger cara o cruz.

    La probabilidad subjetiva asignada para cara sería de 1/2 y para cruz, de 1/2 también.


    D) Si el objetivo es acertar siempre y no fallar nunca. Los únicos casos válidos serían el 1 y el 4; daría igual coger cara o cruz;

    La probabilidad subjetiva asignada para cara sería de 1/2 y para cruz, de 1/2 también.



    Estos objetivos A, B, C, D serían los objetivos lógicos que pueden darse. En el enunciado se dice que Bella es una persona totalmente racional, por lo que no contemplamos otras posibilidades como por ejemplo:

    - maximizar el número de errores.
    - Ponderar los aciertos con mayor peso de los errores (en el caso C) puesto que no hay datos que nos indiquen como ponderarlos.
    - Premiar cualquier resultado ilógico que no se base en acertar o errar.


    Hemos llegado a cuatro objetivos lógicos con sus distintas soluciones. (1/2, 1/3 , 1/2, 1/2)

    Durante el proceso no se produce ninguna información adicional. Toda la información disponible está antes del proceso.

    Llegados a este punto ¿Qué opción elegir? ¿A, B, C, o D?

    Podemos aplicar el principio de indiferencia o no aplicarlo. El principio de indiferencia (o de razón insuficiente) nos dice que cuando no hay razones para inclinarnos por una posibilidad más que por otras, entonces cualquier opción es válida. Por tanto bastaría con coger una de las tres opciones al azar.

    Podríamos igualmente no aplicar el principio de indiferencia, en ese caso deberíamos inclinarnos subjetivamente por una de las tres opciones.


    Hay un razonamiento alternativo, con el que yo me quedo: Puesto que hay cuatro opciones con objetivos lógicos y tres de ellas tienen el mismo resultado (1/2) Podríamos inclinarnos por este último, es decir probabilidad subjetiva de salir cara =1/2.

    Es decir, asignamos la probabilidad subjetiva probabilísticamente .


    Saludos.

    ResponderEliminar
  8. Pequeña rectificación: Hacia el final del texto cuando digo "tres opciones", quiero decir "cuatro opciones".

    ResponderEliminar
  9. Voy a aclarar lo que quiero decir con el término "acierto" o "fallo" en mis comentarios anteriores, ya que posiblemnete sin esta aclaración no se entienda bien mi solución.Voy también a justificar la solución con algunas explicaciones adicionales para los que ya estén introcidos en el problema.

    Toda probabilidad subjetiva ha de estar sujeta a unas suposiciones previas. Los partidarios de la solución 1/3 (en la disputa clásica de este problema); están también haciendo una suposición. Ellos dicen que puesto que hay tres escenarios (cara-Lunes), (Cruz-Lunes) y (Cruz-martes) debe asignarle 1/3 a la probabilidadde que la moneda caiga en cara. Esta formulación es equivalente a mi supuesto B) y equivalente a la pregunta siguiente:

    "Si a la Bella se le preguntara por el resultado del lanzamiento de la moneda y su objetivo fuera acertar ¿cual seria la probabilidad de conseguirlo si dijera "cara" en cada contestación?"
    Resultado: 1/3

    La ventaja de formular así la pregunta en lugar de hacerlo partiendo de los tres escenarios, es la siguiente. Tras la exposición de los tres escenarios Bella DEBERÍA, asignar la probabilidad de 1/3, tras mi pregunta ya no cabe el DEBERÍA sino que matemáticamente la probabilidad ES esa


    Además una vez reformulado así se pueden proponer algunas suposiciones alternativas más y calcular sus probabilidades. .

    La opción C) sería equivalente a decir:

    "Si a Bella se le preguntara por el resultado del lanzamiento de la moneda y su objetivo fuera que el número de aciertos menos el de errores fuera máximo? ¿cual seria la probabilidad de conseguirlo si dijera "cara"?
    Respuesta: 1/2


    La opción D) sería equivalente a decir:

    "Si a Bella se le preguntara por el resultado del lanzamiento de la moneda y su objetivo fuera no fallar nunca una respuesta ¿cual seria la probabilidad de conseguirlo si dijera "cara"?
    Respuesta: 1/2


    Son preguntas lógicas y legítimas dentro de la valoración subjetiva que estamos obligados a hacer debido a lo inespecifidad de la situación. La opción B) no es más que una opción entre otras opciones que también pueden ser lógicas. A Bella se le ha comunicado el experimento con todos sus detalles. Decir que es perfectamente racional equivale a decir que dará la probabilidad correcta. Pero la porbabilidad correcta de qué? Yo he propuesto cuatro probabilidades correctas según un criterio lógico: A, B, C y D . El resultado de tres de estas respuestas es 1/2 y el de una de ella es 1/3.

    Si tengo que elegir una respuesta me quedo con 1/2 por ser la mayoritaria. Incluso aplicando el principio de indifreencia laplaciano podría quedarme también con la opción 1/2. Por tanto esa es mi respuesta. Pero a pesar de eso la respuesta 1/3 no es incorrecta, una vez que se le asocie un criterio a esa probailidad subjetiva y se le suponga con más peso que las demás.

    Creo que lo importante es plantear una solución o varias que, aunque se basen en un criterio subjetivo, respeten los axiomas de la sigma algebra, y en particular lo de la probabilidad.

    ResponderEliminar
  10. Hola a todos.
    Yo, además de ser muy terco, siempre que se puede tiendo a simplificar. (Navaja de ockham).
    En este problema, en el enunciado original, se lanza una sola vez la moneda. El hecho de despertarla el lunes, en caso de que salga cruz, para volver a dormirla y hacer que lo olvide, es irrelevante. No aporta nada, sería exactamente igual no despertarla, y esperar al martes.
    Así entendido, la probabilidad de despertar definitivamente en lunes es la misma que la de que salga cara (50%), y la probabilidad de que despierte el martes, es la misma que la de que salga cruz (50%).
    No soy capaz, con el enunciado original, de ver por ningún sitio la probabilidad de 1/3. He intentado entender lo que nos dice Agustín, y no soy capaz, me pierdo. He buscado en internet soluciones y las que defienden el "1/3" me resultan poco claras y muy rebuscadas. Siceramente no soy capaz de sacarle mas chicha a este problema. Creo que las distintas soluciones no se basan en distintos enfoques matemáticos, sino en disquisiciones lingüísticas, de las que no soy muy amigo. Para mi, un problema bonito, tiene un enunciado que no deja lugar a dudas, acerca de lo que se está pidiendo, y yo en este caso creo que el enunciado es claro, y lo que está pidiendo solo tiene una respuesta.
    Un saludo
    Antonio

    ResponderEliminar
  11. Si, Antonio te comprendo. La "maldad" del problema es que tras salir CRUZ, no solo se le despierta el Lunes y se le vuelve a dormir hasta el Martes , sino que antes de ponerla a dormir se le pregunta por la probabilidad subjetiva.
    El razonamiento básico de los partidarios de "un tercio" es que si el experimento fuera realizado un número elevado de veces, Bella podría decir: de cada tres veces que me preguntan una vez habrá salido cara y dos veces habrá salido cruz. Y de ahí infiero que la cara tiene para mi una probabilidad (subjetiva)de 1/3. Esta es una forma de ver la probabilidad llamada fecuentista (basada en la frecuencia de veces que un suceso ocurriría). La definición de probabilidad es controvertida, sin embargo la forma frecuentista de ver la probabilidad es quizás la más reconocida.

    Los partidarios de "un tercio" ,en tanto que utilizan una probabilidad subjetiva basada en la definiciñon freceuntista de probabilidad, no se equivocan. Como tampoco lo hacen los partidarios de 1/2 (pues evidentemente la moneda no está trucada).

    Lo que yo intento ilustrar a los partidarios de 1/3" es que el criterio que ellos eligen no es el único posible. Y con esto se desmantela el problema, puesto que la razón de que ellos se crean en "cierta posesión de la verdad" es que no se dan cuenta de que la subjetividad de su respuesta está sujeta a un criterio (lógico, pero criterio elegido), que en su caso es: "de cada tres veces que me preguntan, una debe ser cara y dos cruces". Y que podría ser por ejemplo este otro: "de todas las veces que no olvido la respuesta que me preguntan una es cara y otra es cruz". Hay criterios lógicos con resultados diferentes. Y eso resuelve a mi modo de ver el problema, matemática y flosóficamente.

    Un saludo.

    ResponderEliminar
  12. guaaa!! me encanta el blog, pero me poneis los dientes largos jajaj un saludo para todos

    ResponderEliminar
  13. Esa es la clave, aprender de los demás. saludos

    ResponderEliminar

Publicar un comentario

Entradas populares de este blog

Ya va tocando resolver un problema: Problema de Fermi

Actividades para 1º de Bachilerato: CUESTIÓN DE MEDIDA DE ÁNGULOS

LOS NÚMEROS TIENEN VIDA PROPIA. RAMANUJAN,EL HOMBRE QUE CONOCÍA EL INFINITO.