De la Geometría euclidiana a la Geometría fractal. Más de 2000 años de la supremacía de Euclides que debe ser relegada por Mandelbrot: por un cambio en la enseñanza de la Geometría actual.

Andaba yo recreando un sueño de todos los amantes de los libros: buscar entre libros antiguos,   cuando encontré en  la Biblioteca Digital Mundial (que te descubría en una entrada anterior),  un artista precursor del surrealismo: Braccelli , en 1624 realizó unos grabados del cuerpo humano usando triángulos, cuadrilateros, círculos, poliedros, conos, esferas,....

La Geometría de Euclides usada para recrear las emociones humanas.







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Giovanni Battista Bracelli en su libro "Bizzarie di Varie Figure" usa tanto elementos de la Geometría plana como de Geometria tridimensional: sólidos platónicos, también conocidos como cuerpos platónicos,  sólidos pitagóricos, o usando el rigor matemático propio de las definiciones: poliedros regulares convexos  estudiados por el gran geómetra griego Euclides  ( 300 a. C. ).

Éste recopiló el saber matemático  en sus trece  libros "Los Elementos"  sobre geometría y aritmética que ha sido y sigue siendo, la referencia para el estudio de la Geometría. Cuenta con el record de ser el libro secular más leido y editado de la Historia de la Humanidad.



"Hay dos clases de contribuciones matemáticas: las obras que son importantes para la historia de las matemáticas y las que sencillamente constituyen un triunfo del espíritu humano."



Paul Joseph Cohen ( matemático estadounidense , ganador de la medalla Fiels en 1966)

El estudio de la Matemática, de la Geometría  en particular, parece venir separado en dos antagónicos campos: Matemáticas aplicadas y Matemáticas puras. Ya en el libro de Maria Dzielska acerca de  Hipatia al recordar Sinesio las  clases que ésta impartía  nos expresa que las matemáticas no son más que otro instrumento para adquirir conocimientos metafísicos.Sus verdades dirigen a los estudiantes a una esfera epistemológica más elevada, los prepara para las generalizaciones, les abre los ojos a la realidad ideal. La asignatura se llama "geometría divina"... ( pág 67 ).
También una anécdota que cuentan le aconteció a Euclides: ...Éste se ganó la vida dando lecciones de matemáticas a gentes curiosas, deseosas de aprender por saber, no para hacer. Cuenta la tradición que , cuando un alumno en ciernes le preguntó qué provecho material podría sacar del estudio de la matema´tica, Euclides habría llamado a su esclavo y le habría dicho: "Dále un óbolo a este desdichado, ya que cree que debe ganar para aprender"... 
( Leyendo a Euclides de Beppo Levi Laura Levi ).


 Pero el estudio de la Geometría lleva emparejado  ambos objetivos como de forma perspicaz supo intuir Benoit Mandelbrot
Si observamos a nuestro alrededor e intentamos modelizar la realidad, la geometría  euclidiana no sirve, aunque la naturaleza busque la simetría , la irregularidad se manifiesta desde el microcosmos al Macrocosmos  y, bajo esa falta de regularidad, subyace el orden. Desmontando así a  Galileo cuando dijo en 1610 que las matemáticas son el lenguaje de la naturaleza, y que sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras de la geometría clásica euclidiana. Jonathan Swift en "Los viajes de Gulliver", reflejaba que la belleza humana (de un hombre o una mujer; aunque Swift se refería a la mujer) es difícil de representar mediante tales figuras.

Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, los litorales no son circulares, y los ladridos no son suaves, lo mismo que los relámpagos no viajan en línea recta.



Benoit Mandelbrot en su tercer libro "De Introduction to The Fractal Geometry of Nature"

Este matemático heterodoxo buscaba sus fuentes de inspiración en fuentes nada trilladas como la matemática lingüistica, la mecánica estadística, pero fue en 1969 cuando se disponía a dar una conferencia de Economía sobre la distribución de la renta en Harvard cuando entendió que la búsqueda de patrones se repetía en cualquier escala, después estudió la distribución de errores que aparecían en las trasmisiones electrónicas, y fue en 1967 cuando calculó la longitud de la costa de Inglaterra lo que supuso un cambio cualitativo  en su trabajo pues un litoral no es una forma euclídea.
Mandelbrot revolucionó  la Geometría con el estudio de las dimensiones fraccionadas, no se quedó en las cuatro  dimensiones  sino en números no enteros, así un río tiene una dimensión alrededor de 1,2 ; una montaña  entre 2 y 3 .
Los fractales son formas geométricas nuevas que rompen con la geometría clásica euclidiana, en un intento de trazar y comprender de un modo más veraz la complejidad  de la estructura de la naturaleza. Un fractal sería el equivalente en la geometría de Mandelbrot a un círculo o un cuadrado en la geometría clásica, con la diferencia de que cada fractal es diferente, no sólo más grande o más pequeño aunque  se parecen mucho entre sí; esta es una de las características de la nueva geometría fractal : la autosemejanza; los copos de nieve se parecen mucho entre sí, pero no hay dos que sean iguales.

Además estas nuevas formas guardan dicha autosimilitud en todas sus escalas, rompiendo la barrera que separa a lo microscópico de lo macroscópico.
Los fractales se han mostrado muy eficaces para tratar, desde una perspectiva geométrica, todos los fenómenos, objetos y cosas que hay en la naturaleza, incluyéndonos a nosotros mismos; guardando, además, una evidente belleza visual.

Mandelbrot citaba a Jonathan Swift cuando escribía: " Así, los naturalistas observan las pulgas.Tienen pulgas más pequeñas que en ellas hacen presa, y éstas tienen pulgas más pequeñas que las pican, y así hasta el infinito"...


 Para entender la gran trascendencia de la Geometría fractal un documental en cinco partes que no debes perderte:
Unos 40 años de revolución de la concepción del Universo y de las dimensiones que aún no hemos asimilado ni integrado en la enseñanza de la Geometría. Me gusta pensar que nací con la Geometría fractal.


Una entrevista de Eduardo Punset:





Bibliografía:

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