viernes, 12 de febrero de 2010

Los más lógicos, ¿ los matemáticos?,...



“A plena luz del día los matemáticos revisan sus ecuaciones y sus pruebas, no dejando piedra sin levantar en su búsqueda del rigor. Pero por la noche, bajo la luna llena, ellos sueñan, flotan entre las estrellas y se preguntan sobre el milagro de los cielos. Se inspiran. Sin sueños no hay arte, no hay matemáticas, no hay vida”.

 Michael Francis Atiyah, ganador en 1966 de la Medalla Fields

 Época de carnaval, matemático, por qué no; por la noche, en mis sueños, Sherlock Holmes le explica  a Alicia que resolver un problema de matemáticas es misión de un detective, para resolver el enigma hay que buscar minuciosamente pistas, una por cada incógnita; cada pista la debes traducir al lenguaje universal -el algebraico-. Jonny Depp me intenta liar con su aplastante lógica,  ! se han escrito tantos  Tratados de Lógica y, hoy, seguimos careciendo de ella !; (tal vez por ello  Wittgenstein después de terminar su  Tractatus logicus-philosophicus, -una obra que, según él, suministraba la "solución definitiva" a los problemas filosóficos-,se apartó de la filosofía y durante años enseñó a los escolares de un pueblo de Austria ).  El  sombrerero loco interrumpe constantemente  a Wittgenstein y dice cosas que no tienen nada que ver. Sin embargo, siempre son cosas mucho más lógicas que las que dice nuestro filósofo, por más que éste argumente que la filosofía es un combate contra el hechizamiento de nuestra inteligencia por medio del lenguaje, como cuando defiende la “carrera del Caucus”,  es una competición en la que todos corren libremente, en distinto sentido y los participantes se paran cuando quieren.  El concepto de carrera que tenemos es  una definición, por tanto, cualquier otra definición de carrera sería igualmente válida. Si  por convenio,  entendemos que una carrera consiste en correr hacia una misma dirección, ¿por qué no iba a poder ser para otros, igualmente por acuerdo, el correr en cualquier  dirección?.  !Esa es mi paradoja sobre las reglas finitas increpa Wittgenstein!, aparece Guillermo Martinez aclarando: la sucesión 2, 4, 8… sería continuada con el número 16 por la gran mayoría de las personas, atendiendo al criterio de multiplicar por dos. Sin embargo, podría ser continuada por otro número. El criterio para continuar la sucesión sería entonces más complejo pero igualmente verdadero. Allan Poe estrecha su mano y le  proclama "Como poeta y matemático ha debido razonar con exactitud; como simple matemático no hubiera razonado en absoluto”. El propio Lewis Carroll irrumpe en la conversación defendiendo su  publicación  El juego de la lógica,-un método para enseñar a los niños los principios elementales de esta disciplina-, una obra de transicion entre la lógica tradicional y la  moderna. La lógica de Carroll es una lógica para detectives, una  de las más altas recreaciones de la mente, por encima de los juegos y los rompecabezas. Los problemas y acertijos de Carroll se enfrentan a las sucesiones de Los crímenes de Oxford .

Tanto barullo me  acaba por despertar abrumada.Para despejar mi mente no hay nada mejor que una taza caliente de café y unos problemas de Lógica para resolver, pues citando a  Sherlock Holmes: "Cuando uno ha eliminado el imposible, lo que permanece sin embargo improbable, debe ser la verdad".

  • En una fiesta hay 10 niños, se les pide que formen 5 filas de manera que se tengan 4 niños por fila y que todos ellos estén en alguna fila. ¿En qué forma deben distribuirse?  Solución: en forma de una estrella de 5 puntas, con un niño en cada punta y en cada intersección de los segmentos.
  • Un niño y una niña están sentados en los escalones afuera de su escuela. “Yo soy un niño”, dijo quien tiene el pelo negro. “Yo soy una niña”, dijo quien tiene el pelo rojo. Si al menos uno de ellos está mintiendo, ¿quién tiene el pelo rojo?.
  • Si se asume que el 70% de los hombres son inteligentes, el 70% son guapos y el 70% son buenos. Como mínimo, sobre un grupo de 100 hombres, ¿qué porcentaje de ellos serán a la vez inteligentes, guapos y buenos?

 Y unas series numéricas:

  •  7-8-X-13-17

  • 3-X-31-95-283-851

  •  17-19-22-16-X-13-32

  •  2-5-15-18-54-57-171-X

  •  60-30-28-X-12-6-4
Enlaces:
1.-Halla  algunas sucesiones en:
http://www.research.att.com/~njas/sequences/index.html?language=spanish

2.- Más problemas en en:

http://adrianpaenza.blog.arnet.com.ar/tag/problemas


3.- Sobre Wittgenstein:
http://www.ucm.es/BUCM/tesis/psi/ucm-t26885.pdf

4.- Actividades para secundaria ( 1º y 2º E.S.O. ):

http://roble.pntic.mec.es/aruo0004/page10/files/malditas-matematicas.pdf

5.-Problemas de Holmes:
http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/imagina/ma2holm12.htm

6.- ¿ Conocía Sherlock Holmes la teoría de grafos?

http://www.fisem.org/descargas/10/Union_010_008.pdf

7.- Sherlock Holmes y las Matemáticas:
http://www.teachingsherlock.com/litreview.html

8.- Libro:
"La paradoja de Einstein y otros misterios de la ciencia resueltos por Sherlock Holmes"

Bruce, Colin

9:- Los crímenes de Oxford:
http://www.ciao.es/Los_Crimenes_de_Oxford_The_Oxford_Murders_Alex_de_la_Iglesia__Opinion_1451476


http://www.guillermo-martinez.net/

28 comentarios:

  1. Me ha gustado tu artículo.
    En cuanto a los problemas, el niño tiene el pelo rojo,porque el hecho de mentir uno, obliga a mentir al otro, ya que lo que decían era coherente. Los hombres guapos,buenos e inteligentes serán 100*0.7*0.7*0.7=34.3 %.
    Me parece realmente abultado el porcentaje. Discrepo en lo de llamar series a las sucesiones que propones. Serie es la suma de los términos de una sucesión.
    En la primera X = 10
    En la segunda X = 11 (los terminos impares son el anterior termino impar por 9 y le sumamos 4, y los terminos pares son el anterior termino par por 9 y le restamos 4 )
    La tercera X = 27 (Igual que en la anterior son dos sucesiones intercaladas. Terminos impares se suma 5 al anterior, términos pares se resta 3 al anterior).
    La cuarta X = 174 (Es un conjunto de binomios en los que el segundo termino resulta de sumar 3 al primero).
    La quinta X = 14 ( Igual que la anterior pero dividiendo por dos).
    Un saludo
    Antonio

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  2. Gracias, estimado seguidor. Efectivamente no ha sido muy riguroso llamar series a estas sucesiones; aunque frecuentemente usemos ambas palabras como sinónimas.

    Más sucesiones:

    http://www.mlevitus.com/series/series.htm

    http://www.rodoval.com/heureka/seriesnum.html

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  3. Hola, soy Antonio el "anonimo" del primer comentario. Hoy si me he zambullido en tu blog, y me parece realmente interesante y bonito. En cuanto a las sucesiones que propones al final, hay algunas realmente dificiles que me han tenido buena parte de la tarde entretenido, pero con poco exito. Mañana seguiré.
    Un saludo
    Antonio

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  4. Hola Antonio, creo que el problema "de los hombres" puede ser así:

    x= número de hombres con solo una característica (o bueno o guapo o inteligente)
    y= número de hombres con solo dos características
    z= número de hombres con las tres características

    Puesto que hay 100 hombres:

    x+y+z =100

    Por otro lado, hay 70+70+70 = 210 características, luego:

    x+2y+3z=270


    Hay que resolver por tanto el sistema compatible(indeterminado):

    x+y+z=100
    x+2y+3z=270

    Intentando que z sea mínimo como dice el enunciado.

    De aquí sale
    X=0 ; y=90; z=10

    Por tanto la respuesta sería que hay un mínimo de diez personas con las tres características.

    Pero el resultado no es tan malo como parece: ¡habría 90 hombres con dos características y 10 con las tres! Para firmarlo (creo yo)

    Saludos.

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  5. Antonio, dices que has estado entretenido con las sucesiones del final con poco éxito, pero a mi me parece que las soluciones que das en tu primer comentarios son totalmente correctas :-)

    Y Manoli, la entrada me gustó. A mi me parece que hay verdad en la frase del medallista Fields que encabeza el post. Creo que por más que uno intente ser racional, finalmente la emoción lo mueve todo.

    Has hecho una conexión que a mi me parece profunda: La redefinición de la palabra carrera que hace Lewis Carrol, con los límites del lenguajes que presenta Wittgenstein en el Tractatus y finalmente trasladando esto a las matemáticas a través de una sucesión que puede ser continuada por dos o más números... creo que en realidad buscas ese espacio de creatividad dentro de las matemáticas. Yo personalmente creo que lo hay, y que es lógico que se quiera buscar de la misma manera que los artistas varian sus tendencias una vez que previamente ya han explorado otras.

    Saludos.

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  6. Perdona Manoli que utilice tu blog para contestar a Agustín, pero no se de otra manera de ponerme en contacto con el.
    En primer lugar quiero aclarar que no tengo ni idea de cálculo de probabilidades. Todo lo que expongo, lo hago desde un punto de vista meramente intuitivo.Entre las posibilidades X,Y,Z que propones, echo de menos un cuarta, que podria ser W, que es la que incuye a los que no tienen ninguna de las virtudes, que supongo que habrá alguno. (yo conozco a varios). Entonces X+Y+Z no suma 100. X+Y+Z+W=100. No entiendo lo de +2Y+3Z. Tampoco se de donde sale el 270. Por último no se porque dices que z=10, Y= 90 y X=0 es la solución en la que sale Z minimo. El sistema que planteas tiene infinitas soluciones y la que te dá Z mínimo es Z=0 etc. Yo intuitivamente pensé que si un 70% de 100 son inteligentes,en una muestra de 100 hombres hay 70 inteligentes. Esos 70 son una muestra válida si vamos a valorar la belleza. (No serian una muestra válida para valorar la inteligencia). El 70% son guapos, que aplicado a mi muestra válida de 70 me dá 0.7x70= 49 que son inteligentes y guapos. Estos 49 son una muestra válida para apreciar la bondad. El 70% son buenos, que aplicado a mi muestra nos dá, 0.7x49=34.3 . Así que me dá que un 34.3% de los hombres tiene las tres virtudes.
    Supongo que la respuesta no es válida ya que el cálculo de probabilidades es muy poco intuitivo.
    Manoli, He seguido mirando tu blog y me parece muy conseguido, variado y ameno.
    Un saludo a los dos
    Antonio

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  7. Antonio,

    270 sale de lo siguiente: en 100 personas hay 70 buenos, 70 guapos y 70 inteligentes. Esto hace un total de 70x3=210 características.
    Está claro entonces que habría más características (210) que personas (100).
    La cuestión está en como distribuirlas.
    Las dos ecuaciones expuestas reflejan los datos que tenemos.
    Ambas forman un sistema de ecuaciones compatible pero indeterminado, que efectivamente tiene infinitas soluciones. De todas esas soluciones se nos pide aquella en la que z tenga el valor mínimo.

    z=0 no sería el valor mínimo ya que sustituyendo haceindo z=0 en las ecuacuaciones anteriores tendríamos:
    x+y=100
    x+2y=270

    De donde y=170, x= -70
    y no puede haber un número negativo de personas.


    Hay varias formas de resolver un sistema indeterminado, aunque aquí sería relativamente engorroso hacerlo. Y en todo caso finalemente es necesario algo de tanteo.

    Sustituyendo z=10 en las ecuaciones puedes ver que se verifican y que además no existe un valor positivo y menor que diez que lo haga.

    En cuanto a introducir w, puede hacerse, pero curiosamnete no cambiaría el resultado. La razón es que para que z sea mínimo la incógnita "y" debe intentar ser máxima.

    Hay otras formas de abordar el problema, pero esta me ha parecido la más fácil de implementar en un comentario. Se puede también hacer un dibujo de tres conjuntos solapándose entre sí (intersecciones) y seguir a partir de ahí. También se puede hacer una explicación intuitiva pero menos matemática.

    El razonamiento que sigues valdría para un enunciado así:

    "En un grupo hay un 70% de hombres guapos, de los cuales el 70% es inteligente ; de este grupo resultante hay un 70% que además es bueno."
    Sin embargo en el problema propuesto no está escrito así.


    Espero haber aclarado algo. Si no es así, no me importa seguir aclarando.

    Saludos.

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  8. Hola a todos los blogueros de este Viaje a Itaca

    Atendiendo a la invitación de Manoli (que sabe que me gustan este tipo de cuestiones) voy a aportar mi opinión en esta polémica de los hombres buenos, guapos, e inteligentes (casi nada)

    Antes de exponer mi opinión, voy a corregir un pequeño error de Agustín en una de las ecuaciones:

    Cuando Agustín expone:

    x+2y+3z=270
    resultando x=0, y=90; z=10

    Está claro que ha querido decir 210 en vez de 270 (2x90 + 3x10 = 210)

    Este error lo advirtió Antonio pero Agustín al responderle vuelve a repetir el error:

    270 sale de lo siguiente: en 100 personas hay 70 buenos, 70 guapos y 70 inteligentes. Esto hace un total de 70x3=210 características.

    Una vez aclarado el error paso a dar mi opinión:

    Suscribo al 100 % el argumento de Antonio cuando dice:

    'Yo intuitivamente pensé que si un 70% de 100 son inteligentes,en una muestra de 100 hombres hay 70 inteligentes. Esos 70

    son una muestra válida si vamos a valorar la belleza. (No serian una muestra válida para valorar la inteligencia). El 70%

    son guapos, que aplicado a mi muestra válida de 70 me dá 0.7x70= 49 que son inteligentes y guapos. Estos 49 son una muestra

    válida para apreciar la bondad. El 70% son buenos, que aplicado a mi muestra nos dá, 0.7x49=34.3 . Así que me dá que un

    34.3% de los hombres tiene las tres virtudes.'


    Por otro lado, cuando Agustín replica a Antonio diciendo que el razonamiento valdría para un enunciado así:

    "En un grupo hay un 70% de hombres guapos, de los cuales el 70% es inteligente ; de este grupo resultante hay un 70% que

    además es bueno."

    Mi opinión es que los dos enunciados son exactamente iguales, ya que la muestra está distribuida aleatoriamente , por tanto

    el 70% tambien estará distribuido aleatoriamente y esta distribución uniforme se mantendrá en cualquier sub-muestra que

    consideremos.

    Por tanto es correcto decir que el tanto por ciento de guapos, buenos, e inteligentes (a la vez) es 100 x 0.7 x 0.7 x 0.7 =

    34.3

    Esta es mi opnión y como bien sabe Manoli, cuando digo que la burra es parda es por que tengo los pelos en la mano; pero

    creo que ya me he excedido en el tamaño de mi comentario. Por tanto dejo la demostración para mi proximo post.

    Saludos.
    Nicolás

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  9. Estoy ansioso Nicolás por conocer tu demostración. Yo he esbozado una comprobación-demostración, totalmente carente de rigor, que en realidad comprueba el resultado pero que no demuestra nada. Confio en que la tuya se más afortunada.
    Un saludo
    Antonio

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  10. Hola de nuevo.
    Ayer dejé pendiente la explicación del problema y ahora paso a explicar mi argumentación sobre el hecho de que el número de

    hombres inteligentes, Guapos y Buenos sería el 34.3%; serviría para cualquier terna de características que no fueran

    excluyentes entre sí, y a propósito de esto, tengo que decir, que durante mucho tiempo se ha dicho que la inteligencia y la

    belleza eran excluyentes, sobre todo en la mujer, cosa totalmente falsa como queda de manifiesto, sin ir más lejos, en la

    persona que dirige este blog.
    Dado que no estoy muy ducho en fórmulas matemáticas, he recurrido a la demostración empírica, y teniendo en cuenta que los

    ordenadores son herramiendas tremendamente eficaces en la simulación, he procedido a generar mediante una hoja de cálculo,

    una tabla de 1000 filas(hombres).En las columnas, he asignado una a la inteligencia, otra a la belleza y otra a la bondad.

    A cada celda le asignado una formula que asigna un 1 o un 0, con una probabilidad del 70% al 1.El resto de las columnas son

    contadores, que indican si el individuo de cada fila tiene un uno en cada columna (significa que es Inteligente, guapo y

    bueno), o en ninguna de las característica. Despues en otra hoja recojo los resultados repitiendo la operación 20 veces ( o

    sea 20.000 individuos). Hago la media de esas 20 iteraciones y los resultados son los siguientes:

    Intelig Guapos Buenos I+G+B nI+nG+nB
    1 - 715 - 739 - 723 -- 386 - 25
    2 - 699 - 706 - 696 -- 325 - 22
    3 - 692 - 704 - 692 -- 347 - 26
    4 - 670 - 704 - 735 -- 347 - 19
    5 - 686 - 688 - 696 -- 341 - 35
    6 - 718 - 709 - 674 -- 345 - 20
    7 - 674 - 688 - 703 -- 325 - 34
    8 - 694 - 677 - 702 -- 326 - 30
    9 - 681 - 698 - 699 -- 333 - 28
    10 - 726 - 697 - 701 -- 352 - 31
    11 - 707 - 693 - 726 -- 343 - 25
    12 - 703 - 713 - 726 -- 377 - 30
    13 - 680 - 728 - 694 -- 342 - 29
    14 - 690 - 686 - 702 -- 326 - 31
    15 - 715 - 689 - 692 -- 336 - 28
    16 - 711 - 684 - 705 -- 336 - 20
    17 - 714 - 698 - 685 -- 344 - 27
    18 - 698 - 697 - 693 -- 337 - 29
    19 - 714 - 712 - 698 -- 369 - 30
    20 - 707 - 740 - 701 -- 361 - 28

    Media:- 699,7 - 702,5 - 702,2 - 344,9 - 27,4

    La última línea nos da los valores promedio para una muestra de 1000 hombres, donde observamos que 344.9 han resultado ser

    Inteligentes, Guapos y Buenos a la vez (34.49%). Este valor se aproxima bastante al que dió Antonio de la fórmula :

    I+G+B = 100*0.7*0.7*0.7= 34.3%
    y por curiosidad añado que de los 1000 de la muestra solo 27,4 (2,74%) no tienen ninguna de las tres características

    Espero que mi aportación haya servido para aclarar el problema.
    Saludos
    Nicolás
    Nicolás

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  11. Este comentario ha sido eliminado por el autor.

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  12. Estimado Nicolás, gracias por corregir mi error "tipográfico".

    Voy a demostrar (modestamente) que mi resultado es correcto.

    Las limitaciones de este formato no me permiten hacer un dibujo. Pero por favor sean tan amables de dibujar tres conjuntos haciendo intersecciones "entre sí". (como los aros olímpicos) :-)

    Llamaremos a los conjuntos I, G, B (por inteligentes, guapos y buenos)

    Al conocido signo de intersección (la U boca abajo) lo llamaré aquí "int" (de intersección). Pues bien..

    Para implmentar mi resultado (X=0; y=90; z=10) Rellenen los huecos así:

    I int G =30
    I int B =30
    B int G = 30
    I int B int G = 10 (el huequito del centro)

    A poco que intenten variar estos valores por otros verán que el valor de la intersección central (I int B int G) se incrementa.

    En el problema se trata de encontrar el valor mínimo para ( I int B int G) , por eso dice ("Como mínimo sobre un grupo de 100 hombres..".) Y la dificultad radica precisamente en esta minimización.

    Si quieren probar valores tengan en cuenta que:

    - La totalidad de los números que coloquen deben sumar 100 (pues hay 100 hombres)
    - Todos los números que coloquen en cada uno de los círculos deben sumar 70
    - El valor del centro debe ser mínimo.

    Sigo abierto al debate si lo estiman oportuno.

    Saludos y gracias a todos.

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  13. Nicolás, agradezco mucho tu comprobación aunque el hecho de ser empírica me gusta poco.Mi pensamiento es bastante teórico. Curiosamente coincidimos en los valores, como comprobarás mas adelante.. Tampoco me gusta nada la que he hecho yo, que expongo a continuación.
    Parto de la base de dar por buenos mis razonamientos anteriores, para ver si entro en contradicción o incorrección.
    Los hombres que no son ni guapos ni buenos ni inteligentes son 100 X 0.3 X 0.3 x 0.3 = 2.7
    Los que son las tres cosas a al vez son 100 X 0.7 X 0.7 X 0.7 = 34.3
    Los que son dos cosas forman tres grupos ( i+g no b, i+b no g, g+b no i) cada uno de estos grupos tiene 100 X 0.7 X 0.7 X 0.3 = 14.7 que multiplicado por 3 nos dá 44.1 que tienen dos únicamente cualidades.
    Los de una siguiendo el mismo razonamiento son 100 X 0.7 X 0.3 X 0.3 = 6.3 que como tambien son tres grupos suman 6.3 X 3 = 18.9 con una sola cualidad.El total sería la suma de los de ninguna mas los de una mas los de dos mas los de tres , 2.7+18.9+44.1+34.3 = 100 . No entro en contradicción pero no demuestro nada. Animo a todo el mundo, sobre todo a nuestra anfitriona, a elaborar una verdadera demostración, y a no conformarnos con meras demostraciones. Un saludo a todos y muy agradecido por lo que estoy aprendiendo.
    Antonio

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  14. Es lo que tiene escribir deprisa, que se pone lo que no se quiere poner.
    Quería decir "no conformarnos con meras comprobaciones"
    Un saludo Antonio

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  15. Estimados amigos,

    Para ilustrar un poco donde está la cuestión, reduzcamos las características a dos, por ejemplo: ser guapo y/o inteligente.

    Según vuestro razonamiento, habría: 0,7x0,7=0,49, un 49% con ambas características. Es decir 49 personas (ya que la muestra es de cien)

    Pero claramente 49 no es el MINIMO de personas que son guapos e inteligentes a la vez, sino solo 40. Veamoslo:

    30 solo inteligentes
    30 solo guapos
    40 con ambas características.

    La forma de resolución podría ser la misma:

    x= personas con solo una característica
    y= personas con dos características

    x+y =100
    x+2y=140 (140 sale de 70+70=140 características)

    de donde x= 60 , e y =40

    Vuestro resultado lo que da es la probabilidad de que un hombre posea las tres características. Pero en el problema no se pide eso, sino el mínimo número de personas que cumplan la triple condición.

    Saludos.

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  16. Hola de nuevo,
    Para Antonio: Estoy totalmente de acuerdo contigo. tus calculos son correctos y concuerdan con mi simulación, pero no por casualidad, sino porque tanto tu método como el mío son correctos. Por eso no es ni raro ni casual que lleguemos al mismo resultado.
    Con respecto a Agustín, creo que tú también llevas razón. Lo que pasa es que tu deduces el valor mínimo y Antonio y yo lo que hemos deducido es el más probable, que por supuesto no tiene nada que ver uno con el otro.
    Lo que más me ha costado entender es que para que z tenga el valor minimo, x tiene que valer 0. Al final lo he deducido de la siguiente manera:
    x + y + z = 100
    x + 2y + 3z = 210
    entonces:
    y + z =100 - x
    2y + 3z = 210 - x
    multiplico la primera ecuación por 2 y el sistema queda así:
    2y + 2z = 200 - 2x
    2y + 3z = 210 - x
    restando las dos ecuaciones, queda:
    z=10+x
    Con esto se demuestra que el valor mínimo de Z es 10 para lo cual x ha de ser 0.
    Por tanto creo que Agustín también lleva razón. Sin embargo en la simulación que he hecho, despues de repetir más de 100 veces la simulación sobre muestras de 100 individuos, el valor menor de z (inteligentes, guapos y buenos) ha sido 28.

    Y como no son horas, lo dejo ya que mañana (bueno dentro de un rato) hay que trabajar.

    Saludos
    Nicolás

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  17. Estimados amigos, me parecen muy loables las simulaciones y sé el trabajo que conllevan.

    Sin embargo lo que hay que ver es si se está intentando resolver el problema del texto u otro distinto, lo digo porque en el problema que hay en esta entrada

    a) se pide un valor concreto y no un porcentaje.; y sobre todo,
    b) se pide un valor mínimo

    El valor mínimo que se daría con muy baja probabilidad, pero es el que se pide precisamente porque es el que entraña mayor dificultad.

    Los calculos que haces para llegar a x= 0 en las ecuaciones que planteé son los correctos. Y me reitero en que el valor que se pide en el problema del texto es diez y no otro. Distinto sería que cambiáramos el enunciado.

    En la simulación hecha más arriba las medias deben tender a los siguientes números tras infinitas simulaciones:

    700 , 700, 700, 343, 27

    Si queréis hacer una simulación sobre el problema original, puedo colaborar con vosotros y hacerlo en el lenguaje que prefiráis dentro de los que yo conozca. También es posible la resolución total del problema mediante computación.

    Encuentro sin embargo algo más elegante la demostración matemática.

    Un cordial saludo.

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  18. Hola a todos. Yo considero que el enunciado está mal planteado. Si tiro una moneda 10 veces, como mínimo el número de veces que sale cara es cero. Si lo hago 100 veces pasa lo mismo, será mucho menos probable que salga cero, pero sigue siendo posible. En nuestro caso pasa lo mismo, el mínimo número de hombres que cumplen con las tres posibilidades es cero. Es poco probable, pero es posible. Por lo tanto yo entiendo el enunciado como el valor que saldría escogiendo una muestra heterogenea, y que toda la polémica que estamos montando se aleja de la intención del enunciador del problema. Si consideramos el problema como lo entiende Agustín, la solución es cero personas. Si le damos la otra interpretacion, la solución empírica es la de Nicolás, y un intento de solución semiteórica es la mia.
    Un saludo
    Antonio

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  19. Antonio, el enunciado está bien. Y el resultado no puede ser cero. Si fuera cero, no se podría cumplir que hubiera 70 personas de cada tipo. Podrías distribuir a las cien personas como mucho así:

    70 personas con dos características y 30 con la otra característica.

    Pero la tercera característica no cumpliría el requisito del 70% (70 personas) que pide el problema.

    Un saludo.

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  20. Agustín:
    Según leo yo el enunciado, dice: "Se asume que el 70% de los hombres son inteligentes .....". Hace referencia a todos los hombres del mundo, no a nuestros cien. Continua:
    "Como mínimo, sobre un grupo de cien hombres,¿ que porcentaje de ellos serán .......?. Al grupo de cien hombres no le pone condiciones. Se supone que están escogidos aleatoriamente entre toda la humanidad. Es probable que así escogidos se acerquen su porcentajes de cualidades a los de todos los hombres a los que hacía referencia el principio del enunciado. Si los hubiesen escogido entre los miembros del Congreso de los Diputados (por ejemplo), no habria ninguno bueno. En serio, yo creo que no pone el enunciado ningún tipo de restricción a la hora de escoger los cien hombres. Así visto y teniendo en cuenta que tenemos que decir cuántos hombres, de cien, cumplen con las tres cualidades mencionadas, mi respuesta de 34.3 es absurda. ¿Que quiere decir 0.3 hombres? .La respuesta que propongo es que como mínimo son 34 hombres.
    Un saludo
    Antonio

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  21. Despues de leer los comentarios de Antonio y Agustín, he llegado a la conclusión de que el enunciado es un poco ambigüo y caben las dos soluciones. Creo que se aclararía un poco si establecemos el siguiente enunciado:
    "Sabiendo que en una muestra de 100 hombre resulta que 70 son inteligentes, 70 son guapos y 70 son buenos, ¿Como mínimo cuántos de ellos son simultáneamente inteligentes, guapos y buenos? Con este enunciado si podemos aplicar el sistema de ecuaciones propuesto por Agustín:
    x+y+z=100
    x+2y+3z=210
    donde el valor mínimo de z=10 cuando x=0
    Me propongo como tarea para este fin de semana hacer una simulación que genere una muestra de 100 individuos, donde 70 tengan la propiedad 'I' otros 70 tengan la propiedad 'G' y otros 70 'B', de manera que un individuo pueda tener, 1, 2, 3 o ninguna de las propiedades.
    Ya os contaré lo que resulta.
    Saludos

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  22. Antonio, entiendo lo que dices, pero creo que los tres hemos supuesto a la hora de resolver el problema que los cien hombres son una buena muestra de la población.

    Por otro lado creo que de lo contrario no habría problema que resolver. A falta de otra información (por ejemplo desviación típica etc..) parece lo más lógico aceptar que son una buena muestra. El hecho de que pidan un mínimo también lo corrobora en cierto sentido, pues de no ser una buena muestra el mínimo estaría totalmente indeterminado.

    No obstante la reformulación del enunciado que ha hecho Nicolás, me parece más correcta que lel original por no presentar ambigüedad.

    Seguiré con interés la simulación que Nicolás nos va a elaborar. Gracias a los dos.

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  23. En efecto Agustín, me ha costado, pero ahora lo he entendido. Manoli, siento haber utilizado tu blog para enzarzarme en una polémica que se podía haber resuelto aclarando el enunciado. Al escribir tu post me imagino que tu intención no era que desmenuzásemos uno de los ejercicios propuestos.
    Volviendo al problema, ahora lo voy a intentar resolver por la cuenta de la vieja.
    Los valores entre los que oscila el número de hombres con tres cualidades es:
    Máximo 70 (es evidente, coinciden las cualidades en los mismos).
    Mínimo: numero a los cien hombres, conecedo la cualidad G del 1 al 70, la cualidad I la concedo de manera que coincidad con los menos posibles, del 31 al 100. Ahora tengo del 31 al 70 con dos cualidades, el resto con una. La cualidad B se la asigno del 71 al 100 (van 30), del 1 al 30 (van 60 y ahora tengo a los 100 con dos cualidades), y los 10 que me quedan dá igual a quien se los asigne, que quedarán con tres cualidades. Resumiendo:
    10<= nº de persomas con 3 cualidades <=70 (como decía Agustín ).
    Siguiendo el mismo rústico procedimiento me sale
    0<= nº personas con ninguna cualidad <= 30
    0 <= nº personas con una cualidad <= 30
    0 <= nº personas con dos cualidades <= 90.
    No es posible solución menos elegante, pero confio en que esté bien.
    Un saludo y gracias a todos.
    Antonio

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  24. Tengo una solución un poco mas engorrosa,pero más matemática.
    Es un sistema de ecuaciones como el de Agustín, pero no olvidandome de los que no tienen ninguna cualidad.
    Agustín, al no tener en cuenta a los que no tienen niguna cualidad, Tu primera ecuación no cumple por ejemplo cuando todas las cualidades las tienen los mismos. En ese caso x=0 , y=0, z=70, x+y+z=70 que es distinto de 100.
    Propongo:
    x= personas con una cualidad
    Y=personas con dos
    z=personas con tres
    W=personas con ninguma

    El sistema es
    x+y+z+w =100
    x+2y+3z=210

    Lo resuelvo por Gauss y la matriz ampliada resultante es
    1 0 -1 2 -10
    0 1 2 -1 110
    Cuatro incognitas, dos ecuaciones hay que utilizar dos parámetros a y b (no se poner alfa y beta)

    de aquí nos sale
    x= -10 +b -2a
    y= 110 -2b +a
    z= b
    w =a

    Sabemos que el valor máximo que pueden tener z es 70 y w es 30 (se demuestra en otros comentarios) El valor mínimo de W es cero. Es trivial.

    Aplicando el valor Máximo y mínimo de W, osea a, en x
    y sabiendo que x no puede ser menor que cero
    -10 +b -2a >= 0
    para a=0
    -10 + b >= 0
    b >= 10 este es el valor mínimo de los que cumplen con tres condiciones.
    Para a = 30
    -10 + b -60 >= 0
    b >= 70 solo nos vale el valor igual, porque el valor superior es posible matemáticamente, pero no se ajusta a nuestro enunciado.
    Aplicado a y nos da b <= 55 y b<=70 que no aportan nada nuevo. Por lo tanto he deducido de una forma un poco mas bonita los valores entre los que oscila z (que es igual a b).
    Conclusión
    10 <= número de personas con tres cualidades <= 70
    Gracias por vuestra paciencia
    Un saludo
    Antonio

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  25. Buenas a todos/todas,
    Como os decía ayer, he dedicado estos dos dias de descanso a crear el simulador que os dije. Se trata de una hoja de cálculo Excell, que , como aquí no puedo subirla, la he subido para que la podéis descargar en esta dirección:

    http://www.iesf3.org/problemadeloshombres.xls


    Al abrirla os avisará de que contiene macros y que eso es muy malo ... etc. etc. Pulsar la opción Habilitar macros y a disfrutar...

    En contra de la opinión de Antonio sobre el desacierto del enunciado que propuso Manoli, precismente creo que la ambiguedad del mismo ha sido su virtud, ya que casualmente cada uno lo entendió de una forma y esto ha provocado esta polémica de réplicas y contraréplicas y para mí personalmente ha supuesto el pique de hacer la simulación, para lo cual he tenido que aprender a programar Macros en Excell que hasta ahora no había utilizado nunca. Ah! Y todo esto sin desatender mis otras obligaciones domésticas. Así es que gracias Manoli, apúntate un 10.
    Saludos
    Nicolás

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  26. Aprecio sobremanera el esfuerzo realizado por ambos. La resolución del sistema que hace Antonio no se puede matematizar mucho más dado que estamos hablando de un sistema compatible indeterminado, es decir con más incógnitas que ecuaciones. La resolución por Gauss y el posterior tanteo me parece muy bien.

    He visto también la elaboradísima hoja de cálculo de Nicolás. Es una forma empírica de ver el valor más probable que debería darse sin las restricciones de z mínimo. Y en la hoja dos nos ofrece una forma de experimentar con los resultados obtenidos a través de las ecuaciones que hemos resuelto. Estupendo.

    Y aquí entre nosotros, a Manoli habría que animarla a que se apuntara a esas listas de blogs que aparecen en los "rankings" ... que méritos tiene de sobra como aparecer en ellos.

    Saludos.

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  27. Muy bien, Agustin y Nicolás.
    Me lo he pasado muy bien dándole vueltas al problema.
    Me ha parecido muy interesante la simulación. ¡ Que trabajazo¡. Habrá que esperar a que Manoli nos ponga otro reto, y a ser posible que no estemos de acuerdo desde el principio. Es más divertido.
    Un saludo y muchas gracias a todos.
    Antonio

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  28. Hola, Antonio, Agustin y demás viajeros,
    ESte último post es para deciros que he modificado el simulador de forma que al arrancar nos pregunta el porcentaje de cada una de las caracteristicas. De esta forma se generaliza más el problema.

    Saludos
    Nicolás

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Cada día más contenta de pertenecer a este grupo llamado : matemáticos

Y es que no se deja de hablar de nosotros como aquellos que estamos detrás de todo y más si son fenómenos que mueven masas. ¿ ¿e gustan los ...