Matemáticas, Filosofía e Historia unidas en un cómic.

Una propuesta  interesante para tratar uno de los temas  que menos tratamos en las clases de Matemáticas : La Teoría de Conjuntos.
Se trata de un  cómic   editado  recientemente titulado: ULTIMA LECCIÓN EN GOTINGA, del italiano Davide Osenda. Una historia desarrollada en un momento histórico contundente, la dictadura nazi; las matemáticas permiten al protagonista abstraerse de esa nefasta realidad cuando este profesor de matemáticas ante el asalto de los nazis a la universidad se dispone a dar su última lección ante un auditorio vacío.
Aparece el infinito, el descubrimiento de los números transfinitos por George Cantor,  la Hipótesis del Continuo  del Teorema de Incompletitud de Kurt Gödel; el hotel infinito ideado por el matemático David Hilbert,...
Me resulta motivador hablarles a los alumnos de la cardinalidad de los conjuntos, suscitar en ellos la curiosidad ante lo desconocido;  todos los infinitos no son iguales; aleph cero,-el símbolo de los números transfinitos, en los que el todo no es mayor que alguna de sus partes-, aleph uno, pero...les digo, eso pertenece al campo de la Filosofía.

Filosofía y Matemáticas compartiendo  el estudio de  la Lógica y los Sistemas Formales, temas tratados  más ampliamente por filósofos que por matemáticos diría yo.( Bertrand Russell, Alfred Whitehead y Ludwig Wittgenstein.)

Recuerdo con  cariño- y mucho de frustración- cuando recién acabada la carrera de Matemáticas , allá por los años 87, mis amigas Sochus, Marga, Marijose y yo nos matriculamos en un Curso de verano de la Universidad de Granada titulado: Paradojas en la Teoría de conjuntos y nos encontramos dos sorpresas a cual más dispar, la primera era que la ponente era Filósofa y no matemática- nos contó que al ver  matemáticas en la relación de alumnos pensó que podíamos ser unas  aguerridas alumnas - y la segunda fue lo amilanadas que nos sentimos al comprobar que no teníamos ni idea de qué iba todo eso.

Creo que allí empecé a necesitar aprender, allí descubrí el vasto océano que me separaba del conocimiento, y hoy,... sigo igual.

http://pjorge.com/2010/01/21/ultima-leccion-gotinga-davide-osenda-2/

Leyendo en clase un fragmento del Libro de Arena de Borges, incité la duda acerca de a qué conjunto podría ser equiparable el número infinito de páginas del libro, al noverificarse  el principio de buena ordenación de los números naturales, y, como entre la portada y cualquier página se interponen siempre alguna de ellas,  creo que  Borges se refereriría  a  , un conjunto numerable y denso. Conceptos estos propios de la Teoría de conjuntos como las fascinantes paradojas:

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  PARADOJA DE CANTOR: EL CONJUNTO DE TODOS LOS CONJUNTOS

Sea C el conjunto de todos los conjuntos. Entonces todo subconjunto de C es así mismo un elemento de C; luego, el conjunto potencia de C es un subconjunto de C; pero esto implica que la cardinalidad del conjunto potencia es menor o igual a la cardinalidad de C. Pero entonces, según el teorema de Cantor, la cardinalidad de C debe ser menor a la cardinalidad del conjunto potencia. Así pues, el concepto de conjunto de todos los conjuntos lleva a una contradicción.

• PARADOJA DE RUSSELL

Sea Z el conjunto de todos los conjuntos que no son elementos de sí mismos. Se pregunta ¿Z es o no elemento de sí mismo? Si Z no pertenece a Z, entonces, por la definición de Z, Z pertenece a sí mismo. Pero si Z pertenece a Z, entonces por la definición de Z, Z no pertenece a sí mismo. En cualquiera de los dos casos hay contradicción.

Esta paradoja es análoga a la paradoja del barbero: En una aldea hay un barbero que afeita solamente a los hombres que no se afeitan ellos mismos. Se pregunta ¿Al barbero quién lo afeita?



Más paradojas:
1. LA PARADOJA DEL MENTIROSO. Se atribuye a Epiménides haber afirmado: "Todos los cretenses son mentirosos". Sabiendo que él mismo era cretense, ¿decía Epiménides la verdad?




2. UN ENUNCIADO Y SU CONTRARIO. "Esta frase consta de siete palabras." Está claro que su enunciado es falso, ya que consta de seis. Por tanto, su contrario debería ser verdadero. ¿Es esto correcto?



3. LOS TRES ENUNCIADOS FALSOS. Tenemos aquí tres enunciados falsos. ¿Será capaz Vd. de descubrir cuáles?

1. 2+2=4

2. 3x6=17

3. 8/4=2

4. 13-6=5

5. 5+4=9



4. APROBARÁ EL EXAMEN. El siguiente relato ocurrió en un examen oral. PROFESOR: De las siete preguntas de que consta el examen, ya te has equivocado en tres preguntas, y sólo nos queda una. Tu aprobado o suspenso depende completamente de si aciertas o no la próxima pregunta. ¿Te das cuenta?

ALUMNO: Sí. Me doy cuenta.

PROFESOR: El estar nervioso no te ayudará.

ALUMNO: Ya lo sé. Trataré de tranquilizarme.

PROFESOR: Y esta es la pregunta. Recuerda: todo depende de si contestas esto bien o mal.

ALUMNO: Sí, sí, ¡ya lo sé!

PROFESOR: La pregunta es ésta: ¿Aprobarás este examen?

ALUMNO: ¿Cómo voy a saberlo?

PROFESOR: Eso no es una respuesta. Debes darme una respuesta clara, sí o no. Si contestas bien, aprobarás; si no, suspenderás. ¡Así de simple!

La cuestión no le parecía nada simple al alumno. La verdad es que cuanto más pensaba en ello más confuso se sentía. Y de repente cayó en la cuenta de algo muy interesante. Si contestaba una cosa, el profesor tendría la posibilidad de aprobarle o suspenderle, como más le complaciera. Si contestaba lo otro, sería imposible que el profesor le aprobara o le suspendiera sin contradecir sus propias reglas. Como el alumno tenía más interés en no suspender que en aprobar, eligió la segunda alternativa, y contestó de una manera que confundió por completo al profesor. ¿Qué respuesta dio?

5. UNA DE LAS DOS. He aquí dos afirmaciones. Una de ellas es falsa. ¿Cuál?



6. ERRORES. En éste se cometen tres errores.

París es la capital de Francia.

Dos más dos es igual a cinco.

América fue descubierta en 1.492.

¿Cuáles son los errores?



7. HORRORES. En éste se cometen dos errores.

Roma es la capital de Italia.

Dos por dos es igual a cinco.

Hillary escalé el Everest.

¿Cuáles son los errores?



8. PARADOJA MECÁNICA. ¿Por qué los camiones que transportan leche de vaca son una paradoja mecánica?



9. PARADOJA TEMPORAL. Un español en 1.987 llamó por teléfono a otro que se encontraba en 1.986, y le dijo:

- Mañana te telefonearé de nuevo.

- De acuerdo. ¡Hasta mañana!

¿Podría darse esta situación un tanto paradójica en la vida real?.

SOLUCIONES

http://www.cayocesarcaligula.com.ar/Textos/Cantor/georg_cantor_y_la_teoria_de_transfinitos.htm



Más paradojas: visuales, del infinito, lógicas, de la vaguedad,de la confirmación,de la predicción, topológicas y  literarias.


http://www.ehu.es/~mtwmastm/Elche2007.pdf

http://divulgamat.ehu.es/weborriak/sorpresas/sorpresaDet.asp?Id=5