¿ Hasta dónde admitir como válido?

"Es cuando una figura o ser vivo. Se puede doblar por la mitad una vez y que coincidan"

"Es la que cuando está doblada se ve es decir que se ve a simple vista"

 Son algunas  definiciones de Simetría axial  que dos  de mis alumnos de 1º de E.S.O. daban en un examen.

Mi pregunta es acerca de cómo evaluar dicha respuesta, hasta cuánto hemos de seguir aceptando un empobrecimiento del lenguaje, una falta de rigor en el estudio.
Para la Geometría he usado  la papiroflexía en su variante el kirigami, hemos decorado la clase, hemos usado las nuevas tecnologías , les proporcioné un listado de páginas web diversas en la que ver y manipular la Simetría y otros conceptos de Geometría básica -eso sí,después de conseguir  que antes leyeran, resumieran e hicieran   ejercicios, sólo imponiendo esa premisa pude  conseguír que algunos trabajaran algo motivados por el uso  posterior de lo portátiles-.

Y todo para conseguir una innimaginable pobreza en las definiciones posteriores a todo ese trabajo , cuando por ejemplo les preguntaba en el examen la de simetría axial...
( Tema que ya traté en otra entrada del blog: TEPs [ producciones textuales autónomas de los estudiantes ].

Expertos en educación como Roger Schank dicen saber cómo educar: ..." lo único que vale la pena memorizar son las tablas de multiplicar, lo demás lo aprendemos en función de nuestras necesidades e inquietudes."...

Roger Schank es un experto en Inteligencia Artificial que investigaba cómo educar a los ordenadores y acabó descubriendo que a los humanos nos educan mal.Opina que "los profesores deberíamos  concentrarnos  en intentar comprender qué es lo que los estudiantes pueden hacer, y en ayudarles a hacerlo.

 Los ordenadores son una solución, pero no tienen por qué ser “la” solución. La clave es el sistema. Lo que permiten los ordenadores es tener una experiencia individual que les permite a los alumnos comunicarse con un compañero, o trabajar en equipo, o comunicarse con alguien al otro lado del mundo, o investigar algo que les interese, o hacer las experiencias que de otra forma no podrían hacer, pero cada uno en su propio campo"...

http://www.rogerschank.com/


http://www.rtve.es/tve/b/redes2007/semanal/prg351/entrevista.htm

http://www.elpais.com/articulo/portada/Schank/e-learning/actual/misma/basura/diferente/sitio/elpeputec/20100225elpcibpor_6/Tes


En esta linea se encuentra el trabajo de John Dewey por 1890, una educación tradicional “centrada en el programa” frente a una pedagogía “centrada en el niño”. 

..."Como Alicia, el maestro tiene que pasar con los niños detrás del espejo y ver con las lentes de la imaginación todas las cosas, sin salir de los límites de su experiencia; pero, en caso de necesidad, tiene que poder recuperar su visión corregida y proporcionar, con el punto de vista realista del adulto, la orientación del saber y los instrumentos del método” ...

(Mayhew y Edwards, 1966, The Dewey School.pág. 31)

Estando en periodo de evaluaciones, ese es el reto que te  lanzo:  

¿Debo  admitir las definiciones que encabezan esta entrada potenciando la individualidad y la creatividad  del alumno o no admitir dichas definiciones pues carecen del rigor matemático que  la escuela tradicional requiere ?

Un reto más: el problema de los dos sobres

No recuerdo cuándo pero sí cómo comencé en esta aventura, tenía "demasiados" centros de interés algo dispersos, no quería perderlos y el blog me permitiría focalizarlos. Nicolás me vaticinó que sería "absorbente"; yo no tenía ninguna pretensión , y no me importó, por lo que su " aviso" no me llegó a disuadir. Sentía que:

"Iba a ser un experimento  y éste podría fallar"

Hoy, leo que éste fue el  primer logotipo de Wikipedia.

El logo se hizo en 2001  mediante la superposición de una frase de Lewis Caroll sobre un círculo, usando el efecto de ojo de pez para simular una esfera.
"''En un aspecto este libro es un experimento, e intentará probar un error: quiero decir que no consideré necesario mantener a lo largo del mismo la gravedad de estilo que los escritores científicos usualmente utilizan, y que de algún modo vino a ser visto como un “accidente inseparable” de la enseñanza científica. Nunca pude ver la racionalidad de esta ley memorial: hay temas que son, sin duda, en esencia demasiado serios para admitir cualquier tratamiento liviano –pero no puedo reconocer a la Geometría como uno de ellos. De todas maneras, confío, se descubrirá que me he permitido vislumbrar el lado cómico de las cosas solo en momentos apropiados, cuando el cansado lector puede muy bien desear un momento de respiro, y no en cualquier ocasión que pueda poner en peligro la continuidad de la línea argumental."

La frase es una cita tomada de ''Euclid and his Modern Rivals" aunque también parece que apareció en

el prefacio del libro: "Un Cuento Enredado ( o enmarañado) y otros problemas de almohada", recopilaciones de problemas - nudos a desenmarañar- que periodicamente Carroll publicaba en una revista : The Monthly Packet.

Pues emulando esos nudos de Carroll quiero hoy traer otro reto:  

Imagina por un momento que se te acerca un desconocido y te entrega un sobre cerrado con dinero en su interior. Y que, antes que puedas reponerte de la sorpresa ante semejante actitud, te ofrece cambiarlo por otro que lleva con él, sabiendo que el nuevo sobre puede tener o bien el doble de dinero que el otro, o bien la mitad. ¿Qué deberías hacer?

  Su autor fue  Maurice Kraitchik (1882-1957), matemático interesado en las matemáticas recreativas.

Otro curioso y sencillo problema de lógica: La paradoja de los cuatro hijos.

            Y digo yo que irá relacionado la perdida del sentido común de esta sociedad con la falta de razonamiento de nuestros alumnos, éstos luego crecen y se convierten en nuestros dirigentes políticos .

              El siguiente  problema engaña al sentido común que creemos tener:

         "Supongamos que un matrimonio tiene cuatro hijos. ¿Cual es la probabilidad de que dos de ellos sean niñas y dos niños?"
( Suponemos que el nº de nacimientos  de niños y niñas es equiprobable ).

 Su autor es Martin  Gardner divulgador científico, filósofo de la ciencia y conocido también por su libro: "Alicia anotada"  una edición comentada de los dos grandes cuentos de  Lewis Carroll: "Alicia en el país de las maravillas" y "A través del espejo y lo que Alicia encontró allí " aparte del texto íntegro de ambos cuentos Gardner aporta su visión particular puntualizando con unos comentarios que enriquecen aún más los textos de Carroll, ayudando a aclarar los juegos de palabras al lector no anglófono.

Otro gran divulgador de la ciencia es Denis Guedj, nacido en 1940 en Setif (Argelia), que ha fallecido el  pasado 24 de abril; una de sus novelas que llegó a apasionarme es  : "El teorema del loro. Novela para aprender matemáticas". En esta novela la historia de las matemáticas se  nos revela con la sensibilidad y cercanía que nos da el incorporarla a la rutina de los protagonistas de la novela.

...“Jonathan, como todos los estudiantes del mundo, había estudiado a Tales en diversas ocasiones. En cada una de ellas, el profesor había hablado del teorema pero nunca del autor. En las clases de matemáticas nunca se hablaba de las personas sino de sus teorías. De vez en cuando se mencionaba a Tales, Pitágoras, Pascal o Descartes, pero eran solamente nombres, como los de una parada de metro o una marca de queso de quienes no se decía ni dónde ni cuando habían vivido. Las fórmulas, demostraciones y teoremas llenaban la pizarra sin indicar quién los había creado, como si existieran desde siempre, al igual que las montañas y los ríos, aunque ni las unas ni los otros fueran eternos. Con ello se conseguía que los teoremas parecieran aún más eternos que las montañas y los ríos. Las matemáticas no eran como la historia, la geografía o la geología.Pero ¿Qué eran con exactitud? La respuesta no interesaba a la mayoría.”...

Creo que  como un más que merecido homenaje  a este gran hombre voy a  dejar  otros libros  que tengo entre las manos y releer el anterior.

"Il faut aux vérités de la science de belles histoires pour que les hommes s'y attachent. Le mythe, ici, n'est pas là pour entrer en concurrence avec le vrai, mais pour le rattacher à ce à quoi les hommes tiennent et qui les font rêver."

 
Denis Guedj

http://pagesperso-orange.fr/mondalire/guedj_denis.htm

El valor del tiempo. ¿ Para cuándo el fín del mundo ?

Hay ecuaciones que con el tiempo se revalorizan como E = mc  ^2  por las que se pagó  en 1987 1,2 millones de dolares   y que alcanzaba  en 1996 los 3,3 millones  de dolares;  hay ecuaciones  matemáticas  que permanecen vigentes  con el  tiempo como la que con 500 millones de variables usa el buscador Google;  pero, el tiempo que los seguidores de este blog emplean en leer las entradas y analizar los problemas en sus comentarios, eso, ! no tiene precio !.( Y si no que nos diga Nicolás el tiempo que le está llevando el problema de los relojes de la entrada anterior). 

Tiempo es también el que necesito para leer el libro que- como no podía ser menos- me compré el día del libro:  " La Torre de Hanoi" de Carlo Frabetti  un escritor y matemático que ya conocía por su libro: "Malditas matemáticas: Alicia en el país de los números". La preciosa leyenda que da título al libro es la siguiente:

<<En el gran templo de Benarés, debajo de la cúpula que marca el centro del mundo, yace una base de bronce, en donde se encuentran acomodadas tres agujas de diamante, cada una del grueso del cuerpo de una abeja y de una altura de 50 cm aproximadamente. En una de estas agujas, Dios, en el momento de la Creación, colocó sesenta y cuatro discos de oro -el mayor sobre la base de bronce, y el resto de menor tamaño conforme se va ascendiendo-. Día y noche, incesantemente, los sacerdotes del templo se turnan en el trabajo de mover los discos de una aguja a otra de acuerdo con las leyes impuestas e inmutables de Brahma, que requieren que siempre haya algún sacerdote trabajando, que no muevan más de un disco a la vez y que deben colocar cada disco en alguna de las agujas de modo que no cubra a un disco de radio menor. Cuando los sesenta y cuatro discos hayan sido transferidos de la aguja en la que Dios los colocó, en el momento de la Creación, a otra aguja, el templo y los brahmanes se convertirán en polvo y, junto con ellos, el mundo desaparecerá>>. 

El problema aparece entonces  cuándo queremos calcular  el tiempo  en el que el mundo desaparecerá...

 Muchas  matemáticas en un juego inventado en el  año 1883 con el que el matemático Édouard Lucas d'Amiens intentaba ganarse la vida: el método de demostración llamado de inducción completa, el concepto de recursividad, conceptos relacionados con la combinatoria, sistemas de numeración... Incluso, la creación de las novedosas fractales se pueden apoyar en este problemal.

http://olmo.pntic.mec.es/~aserra10/articulos/hanoi.html

http://www.psicoactiva.com/juegos/hanoi/jg_hanoi.htm

 Por cierto: habréis notado cuánta literatura y cuan pocas las imágenes de mis últimas entradas, pues bien es debido a que  ! tengo un problema !:  el sitio supera la cuota de subida de archivos. ¿ Sabéis cómo puedo solventar dicho problema?.

Los relojes: pueden causar adicción

Pues sí , después de la última entrada que comenzó como un juego más al que Lewis Carroll pretendía someternos:

...Supongamos que tengo dos relojes: uno no funciona en lo absoluto, y el otro se retrasa un minuto al día: ¿cuál preferirías? "El que se retrasa", replicarías sin ninguna duda. Ahora observa: el que se retrasa un minuto al día tiene que emplear doce horas, o setecientos veinte minutos, hasta que de nuevo señale la hora correcta; por consiguiente, es puntual una vez cada dos años, mientras que el otro es puntual evidentemente siempre que sea la hora por él indicada, lo que ocurre dos veces por día.

De manera que ya te has contradicho una vez.


"Ah, pero", dirás, "¿de qué me sirve que sea puntual dos veces al día, si no puedo saber cuándo lo es?".

Bueno, supongamos que el reloj marca las ocho en punto, ¿no comprendes que el reloj será puntual a las ocho en punto? Tu reloj señalará la hora exacta cuando sean las ocho en punto.

"Sí, ya veo", me contestarás.

Muy bien, por lo tanto, te has contradicho ya dos veces; ahora sal del apuro lo mejor que puedas y procura no contradecirte una vez más.


Podrías seguir diciendo: "¿Cómo habría de saber cuándo son las ocho en punto? Mi reloj no me lo dirá". Ten paciencia: sabes que, cuando sean las ocho, tu reloj irá bien, perfecto; por lo tanto, esto es lo que tienes que hacer: mantén la vista fija en el reloj, y en el momento exacto en que dé puntualmente la hora, serán las ocho. "Pero...", será tu balbuceo. Pero --ya es bastante-- vale más que desistas en tu vana demanda de algo conforme a los usos de tu sentido común. Te alejarás más y más, a medida que preguntes, del punto en que se sustentaba tu necio equilibrio, de modo que lo mejor será que te calles.


Traducido por Leopoldo Mª Panero.

(Lewis Carroll escribió este problema en El paraguas de la rectoría. ( 1849).  (Ediciones El Cotal. Barcelona, 1979), en él   recoge las revistillas del mismo nombre que Carroll, siendo aún casi un niño, dibujaba, escribía y editaba a mano, y luego colocaba en la rectoría para que los feligreses de su padre pudiesen leerlas.)

 Me reafirmo en la arbitrariedad de medir el tiempo,  en este enlace descubro relojes de todo tipo, hasta 23 modelos:

http://proinf.net/permalink/relojes_y_mas_relojes

y puestos a resolver problemas de relojes aquí va una buena colección:

http://platea.pntic.mec.es/~jescuder/relojes.htm


Pero el problema elegido ( propuesto en la preparación de las Olimpias matemáticas) y que he encontrado  resuelto impecablemente por Francisco Javier García Capitán- como es habitual en él- es el siguiente:

Hallar las posiciones de las manecillas de un reloj susceptibles

de estar en posición inversa. Es decir la aguja horaria en la posición

del minutero y viceversa.

A primera vista, parece que cualquier posicióon de las agujas puede invertirse,pero esto no es así, pues la posición de una aguja obliga en cierta medida a la otra.

El reloj de Lewis Carroll.

No tengo reloj, no me gusta saber la hora qué es; prefiero guiarme de mi reloj biológico, y ... bueno, no me va nada mal, en definitiva, ningún reloj con el que me cruzo marca la misma hora, el que está adelantado para  así no llegar tarde, el que se quedo con la hora antes del cambio horario esperando un nuevo cambio, el que agotó  la pila olvidado en una pared o en un cajón...

  Una vez más acudo a Lewis Carroll para plantear un problema:

¿Qué es mejor, un reloj que da la hora exacta una vez por año, o un reloj que es puntual dos veces al día?.

http://farm3.static.flickr.com/2407/2269429496_610d518288.jpg

... " El primero en romper el silencio fue el Sombrerero.


-¿A cómo estamos hoy? -dijo, volviéndose a Alicia: se había sacado el reloj del bolsillo, y lo consultaba inquieto, sacudiéndole de cuando en cuando, y llevándoselo al oído. Alicia reflexionó un poco, y luego dijo:
-A cuatro.

-¡Va retrasado dos días! -suspiró el Sombrerero-....

... "¡Qué reloj más raro!", comentó. "¡Indica los días del mes, en vez de las horas"!. -¡Por qué había de hacerlo? -murmuró el Sombrerero-. ¿Indica tu reloj los años?
-¡Desde luego que no! -replicó Alicia con presteza-; pero es porque se está mucho tiempo seguido en el mismo año.
-ése es exactamente el caso del mío -dijo el Sombrerero.



Alicia se sintió terriblemente desconcertada. Le pareció que las palabras del Sombrerero no tenían sentido; sin embargo, no cabía duda de que hablaba su mismo idioma: "No le comprendo del todo", dijo lo más cortésmente que pudo.


-¿Sabes ya la solución de la adivinanza? -dijo el Sombrerero, volviéndose de nuevo a Alicia.



-Ni yo -dijo la Liebre de Marzo.

Alicia suspiró con cansancio. "Creo que podían emplear el tiempo mejor", dijo, "en vez de perderlo en adivinanzas que no tienen solución".

-Si tú conocieses al Tiempo como yo -dijo el Sombrerero-, no hablarías de perderlo. Es él.

-No sé lo que quiere decir -dijo Alicia.

-¡Claro que no lo sabes! -dijo el Sombrerero, echando la cabeza hacia atrás con desdén-. ¡Creo que ni siquiera has hablado nunca con el Tiempo!

-Tal vez no -replicó Alicia precavidamente-; pero sé que tengo que marcar el tiempo cuando estudio música.


-¡Ah! Eso lo explica todo -dijo el Sombrerero-. El no soporta que le marquen. Pero si mantuvieras buenas relaciones con él, haría casi lo que tú quisieras con el reloj. Por ejemplo, suponte que fueran las nueve de la mañana, justo la hora de empezar las clases: no tendrías más que susurrarle una indicación al Tiempo, ¡y allá que iría el reloj en un abrir y cerrar de ojos! ¡La una y media, hora de irse a comer!

-("Me encantaría que lo fuera ya”, susurró para sí la Liebre de Marzo.)


-Sería maravilloso, desde luego -dijo Alicia pensativa-; pero entonces... no tendría hambre.


-Al principio quizá no -dijo el Sombrerero-; pero podrías hacer que fuera la una y media el tiempo que quisieras. -¿Hace usted eso? -preguntó Alicia.

El Sombrerero negó tristemente con la cabeza. "¿Desde luego que no!",replicó. "Nos peleamos el mes de marzo pasado... poco antes de que ésta se volviera loca...” -señalando con la cucharilla del té a la Liebre de Marzo.-Fue en el gran concierto que dio la Reina de Corazones, donde yo tenía que cantar: ¡Tiembla, tiembla, murcielaguito! ¡Yo no sé que tramarás!"...


... -Bueno, pues apenas había terminado la primera estrofa -dijo el Sombrerero-, cuando chilló la Reina: "¡Está matando el tiempo! ¡Que le corten la cabeza!".


-¡Qué crueldad! -exclamó Alicia.

-Y desde entonces -prosiguió el Sombrerero con tristeza-, ¡no quiere hacer lo que le pido! Ahora siempre son las seis. ...

Las falacias matematicas son problemas de lógica?

Un recurso que ya apenas usamos en clase son lo que se llama falacias matemáticas, no parece que interesen mucho a los alumnos, por eso cuando en un blog del que soy seguidora  ( http://eliatron.blogspot.com//), apareció una que parte de que 4 = 5, no le presté más atención.

Sin embargo,  me equivocaba, la potencia de las redes sociales: (tuenti, facebook, ... )  ha hecho que mis alumnos  manifiesten  su interés. Por ello y a  petición de Nicolás  quiero invitarlo así como  a Alvaro, a Jorge , a ... todos los que querais, a que vuestras  reflexiones y opiniones la compartamos aquí.